[jibion]

Buenas tardes a todos,

Para empezar un poquito de mi. Estoy estudiando un Master en Turismo en Alemania y una de las asignaturas tiene mucho que ver con la estadística. En España durante mis estudios superiores estudié algo de estadística, pero en su mayoría simplemente se trataba de estadística descritptiva. Ahora damos mucho de estadística inductiva, y pese a que algunos conceptos son muy complejos, es la asignatura que más fácil veo, simplemente porque la barrera del lenguaje no es tan grande como en asignaturas donde el profesor suelta su discurso en alemán.

El profesor nos ha facilitado un examen del año pasado, y resolviéndolo me he encontrado con el siguiente problema y una duda:

Una moneda trucada ( P(Cruz)=0.4) se tira cinco veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cruces consecutivas?

Podría resolver este ejercicio si se tratara de encontrar la probabilidad de que en los cinco lanzamientos salieran 3 veces cruz (independientemente de que sean consecutivas o no). Para ello emplearia la ecuación de probabilidad binomial 

\( y=\displaystyle\frac{n!}{k!(n - k)!}p^k q^{n - k}=\binom{n}{k}p^k q^{n - k} \)

Obteniendo un resultado de P(X)=0.537

Sin embargo, el hecho de sean tres cruces consecutivas me descoloca un poco.

¿Alguien podría alumbrarme el camino?

Muchas gracias,
Jibion

[jibion]

Buenos días,

Anoche en la cama creo haber encontrado la solución. No me parece ahora tan difícil, pero es que he usado un método bastante rudimentario. ¿Qué os parece?

Las posibilidades de que encontrarnos en cinco lanzamientos de una moneda 3 cruces consecutivas son (Z para cruz - K para cara):

a) ZZZKK
b) ZZZKZ
c) KZZZK
d) KKZZZ
e) ZKZZZ

Teniendo en cuenta que la moneda esta sesgada {P(Z)=0.4}, obtenemos para cada una de las posibilidades anteriores

P(a) = (0,4)(0,4)(0,4)(0,6)(0,6) = 0,023
P(c) y P(d) = P(a) = 0,023
P(b) = (0,4)(0,4)(0,4)(0,6)(0,4) = 0,015
P(e) = P(b) = 0,015

De aquí, que sumando todas las posibles combinaciones obtengamos:

P(3 caras consecutivas) = P(a)+P(b)+P(c)+P(d)+P(e) = 0,1. Existe por tanto un 10% de probabilidades de encontrarnos tres caras consecutivas en un total de cinco lanzamientos

El problema radica en que, para este caso particular, el número de combinaciones posibles es sólo 32 y uno puede llegar a una resolución más o menos rápida.

¿Pero qué pasa si me piden calcular la probabilidad de obtener 10 caras consecutivas de un experimento consistente en lanzar 100 monedas al aire? Aquí ya no me atrevería a hacer combinatorias manuales, por lo que pido vuestra ayuda 

¿Hay alguna manera de llegar al mismo resultado sin tener que desgastar un lápiz sólo escribiendo las combinaciones posibles? 

Muchísimas gracias. Saludos,
Jibion

[Luis Fuentes]

Hola

 Tu razonamiento es correcto.

 La generalización del problema no es nada sencilla; se trataría de contar de cuantas formas distintas pueden aparecer \( k \) cruces seguidas, y \( m \) caras en un total de \( N \). En principio no se me ocurre una forma razonable de hacerlo; el mayor problema es no contar dos veces el mismo caso.

Saludos.