[sitlitus]

Hola,
Tengo el siguiente problema:
Un cometa de masa m orbita en torno al sol, masa M. En la posición de máximo acercamiento, o perihelio, la distancia al sol vale d y su velocidad es v, encontrar el radio en curvatura en función de v,d,G,M.
¿Alguien me puede ayudar?
Gracias y SAludos.

[AlbertR]

Debería titularse "Radio de curvatura de la órbita de un cometa". Resolvemos el ejercicio para el caso de un cometa con órbita elíptica que se halla en el perihelio a una distancia al Sol \( d=r_p \) y con una velocidad \( v_p \) Aplicamos la conocida expresión de la velocidad de una órbita elíptica en función de la distancia al Sol \( r \) y del semieje mayor \( a \) de la órbita:

\( v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{2 \ a} \right )} \)

En nuestro caso:

\( v_p=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1{r_p}-\dfrac 1{2 \ a} \right )} \)

Despejamos la única incógnita, que es el semieje mayor \( a \) de la órbita:

\( a=\dfrac{G M r_p}{2 G M-r_p v_p^2} \)

Usamos la expresión:

\( r_p=a(1-e) \)

Para obtener la excentricidad \( e \) de la órbita:

\( e=1-\dfrac{r_p}a \)

Ahora usamos la expresión:

\( e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}} \)

Para calcular el semieje menor \( b \) de la órbita:

\( b=a \sqrt{1-e^2} \)

Finalmente, la expresión del radio de curvatura \( R_c \) en el paso del cometa por el perihelio de su órbita elíptica es:

\( R_c=\dfrac{b^2}a \)

\( R_c=a(1-e^2) \)

El radio de curvatura en el perihelio de la órbita elíptica coincide con la longitud del semi-latus rectum

Saludos.