[Michel]

Transformar gráficamente un cuadrilátero cualquiera en un rectángulo equivalente.

[lexotulivelulaxentric]

Disculpame la pregunta: ¿Esto sería con "regla y compás"?

Gracias

[Michel]

Hola    lexotulivelulaxentric:

Todos los problemas de construcción, mientras no se diga lo contrario, deben hacerse utilizando exclusivamante la regla y el compás.

He visto tu otro mensaje; es evidente que los problemas deben hacerse pensando seriamente y sin prisas.

Saludos.

[lexotulivelulaxentric]

Están las imágenes adjuntas; argumento: un cuadrilatero cualquiera tiene área igual a la suma de los dos triángulos que se obtienen dividiendolo por una de sus diagonales, teniendo en cuenta tal cosa, el área puede calcularse como \( \displaystyle{d_x\cdot{h_1} \over 2} + \displaystyle{d_x\cdot{h_2} \over 2} \) o mejor \( \displaystyle{d_x\cdot{h_{1+2}} \over 2} \), en donde \( d_x \) es una diagonal cualquiera y \( h_{1+2} \) la suma de las 2 alturas perpendiculares a \( d_x \).

(presindiendo de un escuadra): #1 elejimos una diagonal (\( d_x \)) y uno de los triángulos que la tienen como lado, nombrado DAB con A como el vértice opuesto a \( d_x \).

#2 trazamos un triángulo intercambiando la longitud de los lados que no sean \( d_x \) (ejemplo: si el triángulo era de lados a, \( d_x \) y b, hacemos uno nuevo con base \( d_x \)', a' (que mida b), b' (que mida a), nombramos a este nuevo vértice E (tal que E esté del mismo lado que A con respecto a \( d_x \). Notamos que el la recta que pasa por E y A es paralela a \( d_x \).

#3 siendo C el vértice opuesto a \( d_x \) del triángulo opuesto a DAB: con radio AC y centro en A trazamos una circunferencia y otra con radio EC y centro en E, y un segmento de recta (h) entre las intersecciones de ambas circunferencias. Notamos que el segmento desde C hasta \( d_x \) contenido en h es \(  H_{1+2} \) es decir la suma de las alturas relativas a \( d_x \) de los triángulos DAB y DCB.

#4 si nombramos al punto que comparten \( d_x \) con H_1+2 como H sabremos que \( HA \perp d_x  \) de aquí que podemos construir el primer lado de nuestro rectángulo tomando radio en \( d_x \) y trazando con centro en H, la intersección de esta nueva circinferencia con la recta que pasa por A y H es uno de los vértices (H').

#5 hallamos el punto medio de H_1+2 (M) y en él como centro trazamos una circunferencia de radio \( d_x \).

#6 en H' de centro trazamos una circunferencia con radio igual a un medio de H_1+2.
La intersección de las últimas dos circunferencias nos da el último vértice, en las imágenes adjuntas no tiene nombre, pero llamémosle X, tenemos nuestro rectángulo con vértices HH'XM

Justificación: el nuevo rectángulo tiene lados HH' = \( d_x \) = XM,   y   H'X = \( \displaystyle{H_{1+2}\2} \) = HM y por lo tanto su área es igual a \( \displaystyle{d_x\cdot{h_{1+2}} \over 2} \) que es igual al área del cuadrilátero.

[Michel]

 Hola lexotulivelulaxentric:

Yo tenía resuelto el problema de la siguiente forma, bien es cierto que elegí un cuadrilátero convexo; pero si se toma uno cóncavo, como has hecho tú, no resulta mucho más complicado.

Te explicaré los pasos sucesivos de la construcción para que lo repitas con el tuyo. (Dibujo adjunto).

1. En el cuadrilátero ABCD trazo la diagonal BD y las perpendiculares AN y CM a esa diagonal.
2. Determino E, F, H y G, puntos medios de AB, BC, CD y DA, respectivamente.
3. Trazo las rectas EG y FH (que son paralelas) y las perpendiculares a ambas por B y D; los puntos de corte son S, T, U y V, que forman un rectángulo.
4. El cuadrilátero inicial ABCD y el rectángulo final STUV son equivalentes: en efecto, cada uno está formado por el hexágono sombreado (es común), un triángulo 1, un triángulo 2, un triángulo 3 y un triángulo 4.

Intenta seguir estos pasos con tu cuadrilátero convexo y verás cómo sale con ligeras diferencias.

En cuanto a tu solución, me resulta complicada; empiezo por no entender el párrafo #2, referente a la construcción del nuevo triángulo.

Espero que entiendas la construcción que te envío.

Saludos

[lexotulivelulaxentric]

Hola
#2 te explico: así como para hallar el punto medio de un lado AB se trazan dos tramos de circurferencia que determinan dos triángulos iguales pero opuestos a AB, si quisieras trazar una paralela trazarías dos triángulos iguales pero opuestos por la mediatriz de AB (que no hay que trazarla), es decir si determinamos un triángulo ABC luego tenemos otro AB'C tal que AB = CB' y CB = AB', se trata de hallar una paralela en dos pasos. (te dejo una imagen para explicarme)

Espero que entiendas este método, tiene 13 pasos incluyendo cada  tramo de circunferencia y recta trazados, no es tan complicado como parece, no es muy elgante, pero está generalizado.

[Michel]

Hola:

Quiero hacerte unas observaciones que te harán más fácil la resolución de los problemas de construcciones y a los lectores también les facilitará la comprensión.

Se supone que el que se dedica a esto conoce las construcciones elementales (trazado de paralelas, perpendiculares, mediatrices, bisectrices,...) y si no las sabe no le queda más remedio que aprenderlas para poder andar por estos terrenos.
Por eso no es necesario que se detallen tanto las explicaciones; por ejemplo, no hace falta decir (cuando hay que trazar la mediatriz de un segmebnto) con centro en los extremos y radio mayor que la mitad del segmento, se trazan dos arcos...; simplemente se dice "se traza la mediatriz".

Fíjate cómo explico este mismo problema:trazo las perpendiculares AN y CM a esa diagonal, determino los puntos medios de  AB, BC, CD y DA, trazo las perpendiculares a ambas por B y D, ...; y no hay decir cómo se hace cada cosa, se sobreentiende
que se sabe.

Está seguro de que esto te hará mucho más fácil la explicación y a los lectores también les facilitará la comprensión.

Haz caso de la experiencia (desgraciadamente hay mucha gente que no lo hace) y del interés del que te dice esto.

Leeré lo último que me has enviado y trataré de entenderlo.

Saludos cordiales.

[lexotulivelulaxentric]

Tienes mucha razón, intentaré reescribir la demostración pero más breve:

Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD: trazamos la paralela (r) a BD por A y la perpendicular a BD por C, la intersección de ambas la denominamos I.
Hallamos el punto medio de IC (C') y en la recta r delimitamos un segmento de medida BD empezando en I en cualquier dirección (y lo denominamos IX), ya tenemos los dos lados del rectángulo (IX y IC') y 3 vértices I, X y C', hallamos el otro vértice y trazamos el rectángulo.

[Michel]

Hola    lexotulivelulaxentric.

Tal como lo explicas se entiende perfectamente la construcción, sin tantos detalles como dabas al principio.

El fundamente es claro: como el área del cuadrilátero dado es dx(h1+h2)/2, esta misma será la del rectángulo; por tanto, basta construir un rectángulo de dimensiones dx y (h1+h2)/2 ó dx/2 y h1+h2.

Y esta figura puede hacerse aparte, no necesariamente sobre la inicial, pues se reduce a construir un rectángulo de lados conocidos.

Saludos.