Es una explicación un poco engorrosa pero con ver las imágenes adjuntas es suficiente.
Para un triángulo de vértices A, B y C, y un punto X
Dividimos el triángulo en tres equivalentes: La base AC la partimos en tres segmentos, AD, DE y EC tales que AD=DE=EC.
Obtenemos de dicha construcción tres triángulos equivalentes: ABD, DBE y EBC de los cuales ABD y EBC tienen como lados AB y BC del triángulo original, si tomamos dichos lados como bases de esos triángulos tenemos que \( \displaystyle{d(D,AB) \cdot{} AB \over 2} \) es el área de ABD (donde d(D,AB) = h_ε), y \( \displaystyle{d(E,BC) \cdot{} BC \over 2} \) el área de EBC (donde d(E,BC) = h_υ).
Ahora podemos imaginarnos (o ver en la imagen adjunta) un cuadrilátero formado por vértices B, ε, υ y X de modo que las alturas h_υ y h_ε estén posicionadas como indica la letra del problema.
Sabemos que se trata de un cuadrilátero inscriptible: ángulo en épsilon y ángulo en ípsilon son opuestos y complementarios de aquí que ángulo en B y en X también lo son. Por otro lado en un cuadrilátero inscriptible las mediatrices de los lados y de las diagonales se cortan todas en el centro de la circunferencia (un cuadrilátero inscrito es equivalente a dos triángulos inscriptos, es decir, el cuadriláteros separado por una de sus diagonales), y también sabemos que si deslizamos un segmento a lo largo de su mediatriz, con dirección de su mediatriz y la volvemos a trazar (a la mediatriz) esta es constante ( del mismo modo que las mediatrices de los lados opuestos de un rectángulo son iguales).
Así trazamos las mediatrices de h_υ y h_ε y encontramos en su punto de corte al centro de la circunferencia que inscribe al cuadrilátero XεBυ, el radio lo tomamos desde el centro hasta B, trazamos la circunferencia, luego volvemos a trazar h_υ y h_ε pero empezando en υ y ε (los puntos de corte de la circunferencia con los lados AB y BC) y se tocarán en X.
