[Quema]

Hola

Si tengo dos v.a.\( X \) y \( Y \) y dada \( Z=max\left\{{X,Y}\right\} \) Está bien escribir:

\( E(X-Y)max\left\{{X,Y}\right\}=E(X-Y)X1_{\left\{{X\geq{}Y}\right\}}+E(X-Y)Y1_{\left\{{X\leq{}Y}\right\}} \).

Necesito asumir que \( X,Y \) sean independientes?


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Es correcto, salvo un matiz. Escrictamente sería:

\( E(X-Y)max\left\{{X,Y}\right\}=E(X-Y)X1_{\left\{{X\geq{}Y}\right\}}+E(X-Y)Y1_{\left\{{\color{red}X<{}Y\color{black}}\right\}} \)

 Simplemente:

\(  max(X,Y)=X1_{X\geq Y}+Y1_{X<Y} \)

 Nota que no podemos poner al mismo tiempo en los dos sitios el "igual", porque en ese caso si \( X=Y \) tendriamos:

 \( max(X,Y)=2X \)

 lo cual es falso. Ese matiz puede ser importante para variables aleatorias discretas o mixtas (en otro caso para una distribución bivarida continua lo que pase en un conjunto de medida cero, en nuestro caso cuando \( X=Y \) es intrascendente).

 Nos queda entonces:

 \( E[(X-Y)max(X,Y)]=E[(X-Y)(X1_{X\geq Y}+Y1_{X<Y})] \)

 y por la linealidad del operador esperanza se obtiene la igualdad indicada.

 En ningún momento es necesaria la hipótesis de independencia.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¡Ah! Me acabo de dar cuenta de un detalle. Como multiplicas por \( X-Y \) y esto se anula cuando \( X=Y \) realmente SI PUEDES PONER:

\( E(X-Y)max\left\{{X,Y}\right\}=E(X-Y)X1_{\left\{{X\geq{}Y}\right\}}+E(X-Y)Y1_{\left\{{\color{red}X\leq{}Y\color{black}}\right\}} \)

 Por que el caso conflictivo \( X=Y \) es anulado al multiplicar por \( X-Y \).

Saludos.