Hola buenas noches, antes de nada queria agradecer cualquier consejo o ayuda que puedan aportar y que sirva para orientarme, mis mas sinceros agradecimientos.
Bueno se me presenta el siguiente problema:
Una variable aleatoria continua X tiene por función de distribución:
\( F(x)=\begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si }& x<0\\\displaystyle\frac{x^2}{2} & \mbox{si}& 0\leq{x}\leq{1}\\2x-\displaystyle\frac{x^2}{2}-1 & \mbox{si}& 1<x\leq{2}\\1 & \mbox{si}& x>2\end{matrix} \)
Se pide:
a) La función de densidad de X
b)La media y varianza de X
c)\( P(\displaystyle\frac{1}{2}<X\leq{\displaystyle\frac{3}{2}}) \)
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RESOLVEMOS
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a)
Si no me equivoco al derivar las expresiones \( \displaystyle\frac{x^2}{2} \) y \( 2x-\displaystyle\frac{x^2}{2}-1 \) se obtiene la función de densidad de X.
\( f(x)=\begin{Bmatrix}{0}&\mbox{ si }& x<0\\x & \mbox{si}& 0\leq{x}\leq{1}\\2-x & \mbox{si}& 1<x\leq{2}\\0 & \mbox{si}& x>2\end{matrix} \)
El problema llega con el apartado b. Teniendo en cuenta que la media o esperaza de una variable aleatoria continua viene dada por:
\( E(X)= \mu_x =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot{f(x)}\cdot{dx} \)
Se me plantea la duda de como hayar la media ya que la función de densidad presenta dos expresiones. Por tanto no se si debo aplicar la media a cada una de las dos expresiones y luego hallar la media aritmética de ambos resultados, o si por el contrario ando comletamente perdido.
Como ya dije al principio, muchisimas gracias por haber leido y aun mas agradecido por la ayuda.
Alethiat
