Supongo que hay que añadir que los números sean positivos.
Sean \( a,b>0 \). Tomemos una circunferencia de diámetro \( a+b \):
Entonces los triángulos con base \( a \) y base \( b \) son semejantes con proporción \( \displaystyle\frac{a}{H}=\dfrac{H}{b} \), de donde \( \sqrt{ab}=H \).
Ahora bien, recordemos que si un punto está fuera de una recta, entonces el segmento que parte de dicho punto y llega a la recta, y tiene menor longitud es aquél que es perpendicular a dicha recta, de modo que \( H\le r \), con igualdad si y sólo si H es un radio; es decir, si y sólo si \( a=b \). Pero \( r=\displaystyle\frac{a+b}{2} \)
En resumen: \( \sqrt[ ]{ab}=H\le r=\dfrac{a+b}{2} \) con igualdad si y sólo si \( a=b \).
Saludos.
