[ignacius]

Hola

La representación gráfica de la multiplicación de dos segmentos, suele hacerse con un rectángulo, cuyos lados son los segmentos a multiplicar. Es decir el resultado se muestra en dos dimensiones.

Mi pregunta es: ¿Hay algún modo de representación gráfica lineal de la multiplicación de dos segmentos ? . Es decir que el resultado sea una linea, de una sola dimensión.

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Por ejemplo un camino: si quieres multiplicar \( x\times y \):

 - Traza un triángulo \( ABC \) rectángulo de catetos \( AB=1 \), \( AC=x \).

 - Traza otro \( A'B'C' \) semejante con cateto  \( A'B'=y \).

 - Se cumplirá que \( A'C'=xy \).

Saludos.

[Michel]

Hola ignacius.

Supongo que sabes cómo se construye la cuarta proporcional x de tres segmentos a, b y c, es decir, el segmento x tal que a/b=c/x, de donde x=bc/a.

Pues bien, si tomas a como segmento unidad en la anterior construcción, resulta x=bc.

Saludos.

Después de enviar este mensaje veo que tienes una contestación; realmente el fundamento es el mismo.

[ignacius]

Gracias a El_manco y a Michel por vuestras respuestas.

Pero esperaba encontrar una forma de representar la multiplicación, sin recurrir a la unidad de referencia.

Ejemplos de representaciones gráficas sin métrica:

Para representar la suma de segmentos, basta con colocarles en linea recta para obtener la suma:

a+b = ├─────a─────┼───────b────────┤

De igual manera, puede representarse la suma inversa de segmentos, se colocan en paralelo y se unen sus extremos, el resultado es un segmento que va del cruce a la base, véase la imagen inferior:

(El símbolo H representa la operación suma inversa)

a H b = \(  {\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}} = \displaystyle\frac{a * b}{a + b}} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Pero esperaba encontrar una forma de representar la multiplicación, sin recurrir a la unidad de referencia.

 El producto no tiene sentido geométrico como longitud sino fijamos una unidad de referencia. Piensa en dos segmentos iguales. Si como unidad de referencia fijamos el propio segmento, serían de longitud una unidad y su producto volvería a ser un segmento de la misma longitud. Si como unidad de refeencia fijamos la mitas del segmento, serían de longitud dos unidades. Su producto sería un segmento cuatro veces mayor qu el inicial.

 Es decir el resultado geométrico del producto varía con la elección de la unidad.

Saludos.

[ignacius]

Hola El_manco

Es decir el resultado geométrico del producto varía con la elección de la unidad.

Parece razonable lo que indicas, pero me sique intrigando, por que la suma inversa, que es igual a un producto / suma, no requiera una unidad de referencia. A no ser por que la división sea la causa de obiar la unidad.

Saludos

[Michel]

Hola a los dos:

A la hora de hallar el segmento raíz cuadrada de uno dado, también se echa mano de la unidad, ya que se construye la media geométrica de los segmentos unidad y el dado.

¿Ayuda esto un poco?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Parece razonable lo que indicas,

Fíjate que lo que indico no pretende ser una simple observación, sino una demostración de que no se puede trazar el producto como longitud, sin fijar la unidad. Porque de hecho probamos que el resultado depende de la unidad. 

pero me sique intrigando, por que la suma inversa, que es igual a un producto / suma, no requiera una unidad de referencia. A no ser por que la división sea la causa de obiar la unidad.

La clave es que hagas un estudio de unidades (del estilo de los que se hacen en física). Si llamamos \( u \) a la unidad en la que trabajamos:

 - \( a+b\equiv u+u\equiv u \)

 - \( a\cdot b\equiv u\cdot u\equiv u^2 \)

 - \( \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\dfrac{ab}{a+b}\equiv \dfrac{u^2}{u+u}\equiv u \)

 Creo que resulta evidente la diferencia entre el primer y tercer caso y el segundo. ¿No?.

Saludos.

[ignacius]

Perfectamente claro.

Gracias por tu explicación.