No existe una curva que haga máxima esa integral, en el sentido de que para todo M existe una curva tal que la integral es mayor que M.
Usando el teorema de Green, tenemos que \( \int_\phi y^3dx + (3x-x^3)dy=\int_{A_\phi} 3-3x^2+3y^2 dxdy \), donde \( A_\phi \) es la superficie encerrada por una curva cerrada \( \phi \). Si elegimos A un rectángulo centrado en 0 (con X yendo de -1 a 1 e Y yendo de -b a b), esa integral da \( 4b(b^2+2) \), que es tan grande como queramos haciendo variar b.
Espero que se entienda. Un saludo.
