Las definiciones impredicativas aparecen continuamente en Matemáticas, por ejemplo, en el axioma del supremo de los números reales. El predicativismo no las acepta, porque en la definición de un objeto no puede aparecer el nombre de ese objeto.
En realidad, el problema de las definiciones impredicativas es que estamos asumiendo de base que el objeto existe , y no siempre es así (por ejemplo, el conjunto de Rusell), y de ahí vienen las paradojas. Por ejemplo, el conjunto de Rusell (conjunto de conjuntos que no se pertenecen a si mismos) no existe, por lo cual no hay paradoja de Russell.
Pero por otra parte, si no se llega a ninguna contradicción, se puede introducir uno o varios axiomas impredicativos, siempre y cuando sepamos que el axioma es consistente él y con el resto de axiomas predicativos o no predicativos. Sirva como ejemplo el axioma de la cota superior en el conjunto de los números reales (asumiendo la consistencia del mismo), ¿es así?
Saludos