Hola de nuevo, ileques.
En primer lugar dejar claro que no te puedo ayudar en profundidades teóricas, pues soy un mero aficionado a estos temas tan "extravagantes". Pero sobre la bibliografía del asunto si que te puedo orientar.
En idioma español han sido famosos los textos del profesor de la universidad de Wisconsin Walter Rudin. Se titulan:
Análisis Real y Complejo (Big Rudin) de Editorial Alhambra; y
Análisis Funcional de Editorial Reverte, que ha estado agotado mucho tiempo pero me parece que han sacado una nueva impresión ultimamente.
También ha sido muy mencionado el libro de la Editorial Mir de Rusia, de dos matemáticos de primera fila: Kolmogórov y Fomín. Se llama
Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional.
Finalmente, aparte de estas traducciones de las "vacas sagradas" internacionales, tienes un libro enteramente escrito por dos autores españoles que me ha causado una muy favorable impresión:
Un curso de Análisis Funcional (Teoría y Problemas) de Antonio Vera López y Pedro Alegría, de la Universidad del País Vasco. Este libro trata los espacios normados, de Banach y de Hilbert, y la teoría espectral en ellos.
Por supuesto que aparte de esto siempre nos quedará Internet. Como estas teorías tienen unas ramificaciones prácticamente ilimitadas, existen muchas páginas interesantes sobre el tema. Exigen, eso si, un mínimo dominio del inglés científico. Por ejemplo hay una web que resuelve los ejercicios del "big Rudin", como se conoce para distinguirlo del "little Rudin" que es el de "Principios de Análisis Matemático" de McGraw Hill.
Bueno por último sólo te comento que, dependiendo del profesor, esta materia se puede enfocar desde varios puntos de vista, pero siguiendo la norma de Abel las enseñanzas de los maestros son generalmente preferibles a las de sus discípulos, y los textos que te recomiendo son de verdaderos especialistas mundiales.
Un saludo.
