Hay tres números de tres cifras.
De cuatro:
_ _ _ _: Escogemos dónde colocar a los tres números dados. Dividimos en dos casos: no están los tres en en las últimas tres cifras y sí están los tres en las últimas tres cifras.
El primer caso obliga a que haya alguno en la primer cifrar. Para escribirlo tendremos 2 opciones (1 ó 9). Si fué el 1, entonces escogemos simplemente dos lugares de los tres restantes: \( \displaystyle\binom{3}{2} \) y en el cuarto lugar puede estar el 0,2,3,4,5,6,7,8: Hay 8 opciones para el cuarto lugar. Luego, en total hay \( 8\displaystyle\binom{3}{2} \) números que empiezan en 1. Si el número empieza en 9, escogemos los dos lugares de los tres restantes en que acomodaremos un 9 y un 1: \( \displaystyle\binom{3}{2} \). Como el 1 y el 9 se pueden permutar entonces debemos contar dos veces: \( *2\displaystyle\binom{3}{2} \). El cuarto número será el 0,2,3,4,5,6,7,8: Hay 8 opciones para el cuarto. Entonces hay \( 8*2\displaystyle\binom{3}{2} \) números que empiezan con 9.
Conclusión: Hay \( 8\displaystyle\binom{3}{2}+8*2\displaystyle\binom{3}{2} \) números de cuatro cifras que empiezan con 1 o 9.
Por otra parte, si escogimos los últimos tres lugares, entonces para el primero están las opciones 2,3,4,5,6,7,8: 7 opciones. Como las últimas tres cifras pueden permutar, entonces hay \( 7*3 \) números de cuatro cifras que terminan en un 1 y dos 9's.
Por tanto el total de cuatro cifras buscado es \( 8\displaystyle\binom{3}{2}+8*2\displaystyle\binom{3}{2}+21 \)
Intenta hacer algo parecido para contar los de 5 cifras.
Saludos.
