[Tanius]

Tengo el siguiente problema.

Sea \( A \) no vacío. Demuestre que el número de subconjuntos con un número par de elementos es igual a la mitad del número de subconjuntos de \( A \).

El problema no lo dice pero supongo que se refiere a \( A \) finito.

Así como está escrito pensé que se refería a demostrar que \( \displaystyle\binom{n}{2k}=\dfrac{2^n}{2} \) donde \( n \) es la cardinalidad de \( A \), pero a simple vista la igualdad no parece cierta.

¿Alguna sugerencia?

[Héctor Manuel]

El total de subconjuntos con un número par de elementos es \( \displaystyle\binom{n}{0}+\displaystyle\binom{n}{2}+\displaystyle\binom{n}{4}+\cdots+\displaystyle\binom{n}{2k} \) donde \( 2k \) es el mayor par que es menor o igual a \( n \). Entiendes por qué es esa suma lo que buscas?

Por otra parte, desarrolla \( 0=(1-1)^n \) con el binomio de Newton y a dicho desarrollo aplícale el hecho de que \( \displaystyle\binom{n}{0}+\displaystyle\binom{n}{1}+\cdots+\displaystyle\binom{n}{n}=2^{n} \).

Saludos.