Bajo los axiomas de la geometría euclídea no se asume el sistema coordenado de números reales,
sin embargo es posible construir en el plano un sistema coordenado, tras una larga y laboriosa tarea de construcción que involucra dar a las líneas rectas una escala ordenada y una estructura de cuerpo ordenado completo.
Una vez logrado esto, es válido y además ventajoso tratar muchos problemas mediante la geometría analítica.
La geometría analítica es parte integral de la geometría que llamas "sintética", y a la cual yo llamo "la geometría que viene directo de los axiomas".
El problema que yo le veo a la geometría "sintética" es que necesita de una larga lista de axiomas que deben invocarse.
No son los meros 5 "postulados" de Euclides, sino en relidad 5 "grupos de postulados" los que hay que estudiar.Son muchísimas propiedades a tener en cuenta, y algunos pensarán que ciertas propiedades son axiomas de la geometría, mientras otros dirán que son teoremas, y viceversa.
Esa por sí solo es fuente de una enorme confusión. 
La gente empezará a
discutir sin bases sólidas, cayendo en la incoherencia, y los razonamientos se volverán dudosos, porque uno puede partir de suponer que "casi cualquier cosa que convenga es cierta", y luego demostrar lo que a uno se le venga en gana.
Para evitar ese problema, hay que poner en algún lugar, por ejemplo en un thread del foro,
una lista de postulados de la geometría con la que todos estemos de acuerdo. Por ejemplo, la de algún libro clásico como el de
Puig Adam.
Y entonces, todos los hechos que no estén puestos ahí habría que demostrarlos, y eso sería lo justo, y tendríamos así una base sólida.
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Cuando hay Teoremas importantes, no se puede simplemente "comenzar en el aire", suponiendo que ya todo el mundo asume tales y tales propiedades geométricas como ciertas, y luego deducir otras.
Pero como la alternativa que queda es esto que propongo de poner un hilo con la larga lista de postulados, y luego demostrar todos los resultados intermedios, de modo que quede "constancia sólida" en alguna parte, se hace complicado trabajar de esta manera.
Uno se encuentra en la difícil situación de tener que demostrar teoremas geométricos "ingeniándoselas" para llegar a un determinado resultado
pasando por la menor cantidad posible de supuestos axiomáticos, ahorrando afirmaciones arriesgadas, y buscar el camino más corto posible que permita dar con la demostración.
Tuve una experiencia con esto cuando quise dar una demostración basada exclusivamente en hechos geométricos elementales del
Teorema de Euler que relaciona las cantidades de vértices, aristas y caras de un poliedro.
Una gran dificultad aparece cuando uno tiene que especificar con total rigor, sencillez y claridad, qué diablos es un poliedro, qué es una cara de un poliedro, y otros elementos geométricos básicos como semiplanos, semiespacios, ángulos, etc.
Además quería evitar en lo posible el uso de geometría analítica.
La solución que adopté fue algo mixta, una en la cual acepté ciertos hechos del álgebra lineal como la independencia lineal de vectores, o la representación de rectas y planos mediante vectores y parámetros.
Pero no usé resultados profundos del álgebra lineal, ni cálculos complicados con ángulos, ni nada. Sólo la distinción entre rectas paralelas y rectas que se cortan, etc.
Ahorré definiciones, terminología, y listas de postulados, y aún así me llevó trabajo mantener una demostración digna de llamarse "confiable", o sea, una demostración sólida y sin "huecos".
Si te interesa le podrías echar un vistazo, la he dejado en esta dirección:
Teorema de Euler
