Autor Tema: Inducción matemática con sumatoria

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Abril, 2011, 04:53 am
Leído 7641 veces

akmaurei

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 5
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
demostrar mediante inducción matemática que:

\( \displaystyle\sum_{k=0}^n{(-1)^k}\displaystyle\binom{n}{k}=0 \)

Por favor, como se haría este ejercicio

14 Abril, 2011, 11:13 am
Respuesta #1

pepito

  • Lathi
  • Mensajes: 1,618
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No me parece que la inducción sea el mejor camino acá (de hecho, no me parece que sea un buen camino siquiera). Tené en cuenta que \( 0=0^n=(1+(-1))^n \) y usá el bonomio de Newton para concluir.
"...parecido pero nada que ver"

15 Abril, 2011, 10:06 am
Respuesta #2

caelus

  • Junior
  • Mensajes: 26
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • denumeros.com Ejercicios y problemas
    • Ejercicios y problemas de Matemática
Asumo que requieres usar el método pedido, entonces recuerda que debes plantear que

tu hipótesis se cumple para n=0
luego plantea la tesis de que se cumple para n y prueba que se cumple para n+1 (usando para ello la tesis) eso es lo que establece el principio de inducción completa.
 Paso 1.- \( \displaystyle\sum_{k=0}^n{(-1)^k}\displaystyle\binom{n}{k}=0 \Rightarrow{} (-1)^0\binom{n}{0}\neq{0} \) no es válido (no se cumple para el primer término)

15 Abril, 2011, 03:45 pm
Respuesta #3

pepito

  • Lathi
  • Mensajes: 1,618
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No veo muy bien a qué querés llegar con eso, me gustaría ver como concluís esa demostración de la forma que indicás. Igualmente me parece claro que la igualdad es verdadera a partir de \( n=1 \), no \( n=0 \) (en mi demostración, cabe recordar que \( 0^0=1\ne 0 \)). Pero de todas formas, el binomio de Newton se puede probar por inducción, así que si uno quisiera usar inducción sí o sí, podría copiar esa demostración adaptada al caso particular \( (1+(-1))^n \).
"...parecido pero nada que ver"

19 Abril, 2011, 04:39 am
Respuesta #4

caelus

  • Junior
  • Mensajes: 26
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • denumeros.com Ejercicios y problemas
    • Ejercicios y problemas de Matemática
Supongo que la idea es responder la pregunta, nada más, igualmente señalo para quien pregunta que debe seguir ciertos pasos para una demostración por inducción completa, igualmente mi conclusión es adecuada ya que la sumatoria comienza en 0 y no en uno, y por tanto no cumple con la primera premisa del método, si se quiere demostrar la validez de la premisa, debemos comenzar cambiando el índice por 1.
Claro que se puede demostrar el binomio de Newton por inducción, (considero sin embargo que quien pregunta como se realiza una demostración por IC seguramente se encuentre con un problema ante tal demostración, pero gustos son gustos)
Yo no dije que tu método no fuera válido, simplemente respondí lo que se preguntó según mi mejor experiencia.

Saludos