[algebraico]

HOla, se lanza una moneda al aire 3 veces con probabilidad "p" de que salga cara, si X es el nº de caras que sale en los 2 primeros lanzamientos e Y el nº de caras en los 2 últimos lanzamientos, cuál es la probabilidad de   P(x=0|y=1)=\( \displaystyle\frac{1-p}{2} \),P(x=1|y=1)=\( \displaystyle\frac{1}{2} \),P(x=2|y=1)=\( \displaystyle\frac{p}{2} \), la cuestión es si alguien sabe como se llega a esos resultados, gracias de antemano, saludos.

[pepito]

Voy a llamar:

\( i=c \) al evento "se obtuvo cara en el primer lanzamiento",

\( i=+ \) al evento "se obtuvo cruz en el primer lanzamiento",

\( ii=c \) al evento "se obtuvo cara en el segundo lanzamiento",

\( ii=+ \) al evento "se obtuvo cruz en el segundo lanzamiento",

\( iii=c \) al evento "se obtuvo cara en el tercer lanzamiento",

\( iii=+ \) al evento "se obtuvo cruz en el tercer lanzamiento".

Por ejemplo, si quisieras resolver el tercero:

El evento \( x=2 \) se escribiría como \( i=c\cap ii=c \) y el evento \( y=1 \) se escribiría como \( (ii=c\cap iii=+)\cup_d (ii=+\cap iii=c) \) (unión disjunta). Entonces

\( P(x=0|y=1)=\dfrac{P(x=0\cap y=1)}{P(y=1)}=\dfrac{P((i=c\cap ii=c)\cap ((ii=c\cap iii=+)\cup_d (ii=+\cap iii=c)))}{P((ii=c\cap iii=+)\cup_d (ii=+\cap iii=c))}=\\ \\=\dfrac{P(((i=c\cap ii=c)\cap (ii=c\cap iii=+))\cup_d ((i=c\cap ii=c)\cap(ii=+\cap iii=c)))}{P((ii=c\cap iii=+))+P((ii=+\cap iii=c))}=\\ \\=\dfrac{P((i=c\cap ii=c\cap ii=c\cap iii=+)\cup_d (i=c\cap ii=c\cap ii=+\cap iii=c))}{P((ii=c\cap iii=+))+P((ii=+\cap iii=c))}=\\ \\=\dfrac{P((i=c\cap ii=c\cap iii=+))+P((i=c\cap ii=c\cap ii=+\cap iii=c))}{P((ii=c\cap iii=+))+P((ii=+\cap iii=c))}=\\ \\=\dfrac{p^2(1-p)+0}{p(1-p)+(1-p)p}=\dfrac{p}{2} \)

Los otros son muy parecidos.

[algebraico]

  Muy bien Pepito esa es la versión para cátedra pero la versión para los no matemáticos cuál es?? No, digamos que yo estaba mirándolo de otra forma, los resultados posibles son 8, \( 2^3 \)=8, entonces a partir de ahí para P(X=2|y=1) sería una única opción: CC+ teniendo en cuenta que la fórmula nos dice que la anterior expresión es igual a \( \displaystyle\frac{P(X=2\cap Y=1)}{P(Y=1)} \)=\( \displaystyle\frac{P(CC+)}{P(CC+)\cup P(C+C) \cup P(++C)\cup P(+C+)} \)=\( \displaystyle\frac{p2(1-p)}{4/8} \) pero no se llega al mismo resultado. ¿Hay algún sitio dónde pueda mirar lo de la unión disjunta en esta web?. Gracias!

[pepito]

Los casos totales en realidad no son 8, eso sería si uno simplemente lanzara una moneda 3 veces. Pero cuando uno está condicionando al evento Y=1, los casos totales disminuyen (pasan a ser 4). Igualmente acá no nos interesa contar los casos favorables y los totales, porque los distintos resultados del experimento (que son tríos de caras y/o cecas) no son equiprobables, así que esas cantidades no te van a servir para nada.

Ahora bien, no te dejes intimidar por la diferencia de notación, lo que estamos diciendo es prácticamente lo mismo.

\( \displaystyle\frac{P(CC+)}{P(CC+)\cup P(C+C) \cup P(++C)\cup P(+C+)} \)

Eso está mal escrito, en realidad sería

\( \displaystyle\frac{P(CC+)}{P(CC+\;\cup\;\; C+C\;\cup\; ++C\;\cup\; +C+)}=\displaystyle\frac{P(CC+)}{P(CC+)+ P(C+C) + P(++C)+ P(+C+)} \)

Es decir, los eventos se unen, las probabilidades se suman (ojo, no confundir los símbolos de suma con los de "cruz").

Ahora solamente tenés que calcular cada una de esas 5 probabilidades y operar. En el numerador lo hiciste bien (supongo que quisiste decir \( p^2(1-p) \)). Para el denominador tendrías que razonar de la misma forma que lo hiciste para llegar al resultado del numerador.

esa es la versión para cátedra pero la versión para los no matemáticos cuál es??

Emmm... Será que me dejé engañar por tu nickname

[algebraico]

Hola, intentaré cambiar el nick a algebrito,  , siguiendo con el problema, con el denominador procedo de la siguiente manera:
P(CC+)=\( p^2(1-p) \);  P(C+C)=\( p(1-p)p=p^2(1-p) \);  P(++C)=\( (1-p)^2p \) y P(+C+)=\( (1-p)p(1-p)=(1-p)^2p \), con lo que la expresión quedaría: \( \displaystyle\frac{p^2(1-p)}{2p^2(1-p)+2p(1-p)^2} \), expresión que queda lejos del resultado correcto que es \( \displaystyle\frac{p}{2} \).

[pepito]

No tan lejos como creés:

\( \displaystyle\frac{p^{\cancel{2}}(1-p)}{2p^{\cancel{2}}(1-p)+2\cancel{p}(1-p)^2}=\displaystyle\frac{p\cancel{(1-p)}}{2p\cancel{(1-p)}+2(1-p)^{\cancel{2}}}=\displaystyle\frac{p}{2p+2(1-p)}=\displaystyle\frac{p}{2} \)

[algebraico]

  , oskey no la ví esa simplificación, sacando factores comunes para ir eliminando miembros, definitivamente me llamo algebrillo pardillo.