Corrige la sucesión. Tal como la has puesto ( el producto de \( x_{n-2} \) con \( x_{n-3} \)), la recurrencia no es lineal, y por lo tanto no aplica el método que propones no aplica. A demás, qué pasa con ese "=3"?
Saludos.
Hola,
Disculpa, puse mal la ecuación. Lo pongo todo de nuevo:
Ecuación recurrente no homogénea:
\( X_{n} = -8x_{n-1} + 20x_{n-2} - 16x_{n-3} = -3n^2 \)
Resuelvo y saco la ecuación característica:
\( t^3 - 8t^2 + 20t - 16 = 0 \)
Mediante Ruffini busco las raices del polinómio y obtengo:
\( (t-4)(t-2)^2 \)
Sus raices son 4 y 2 esta última con multiplicidad 2.
La solución general és:
\( X_{n} = \alpha(4)^n + \beta*n(2)^n-1 + \gamma*n(n-1)(2)^n \)
Como es una ecuación no homogénea, la parte no homogénea de la ecuación:
\( X_{n} = -8x_{n-1} + 20x_{n-2} - 16x_{n-3} = 3n^2 \)
En este caso \( -3n^2 \) es un polinomio de grado 2 entonces se puede
ensayar una solución particular del tipo:
\( X_{n} = a_{0} + a_{1}n + a_{2}n^2 \)
Seguidamente se sustituye:
\( -8x_{n-1} = -8(a_{0} + a_{1}(n-1) + a_{1}(n-1)^2) \)
\( 20x_{n-2} = 20(a_{0} + a_{1}(n-2) + a_{1}(n-2)^2) \)
\( -16x_{n-3} = -16(a_{0} + a_{1}(n-2) + a_{1}(n-3)^2) \)
Se obtiene la siguiente ecuación para desarrollar:
\( (c_{0} + c_{1}n + c_{2}n^2) -8(a_{0} + a_{1}(n-1) + a_{1}(n-1)^2) + 20(a_{0} + a_{1}(n-2) + a_{1}(n-2)^2) -16(a_{0} + a_{1}(n-2) + a_{1}(n-3)^2) = -3n^2 \)
Se desarrolla y se obtiene:
\( -109a_{2}n^2 + (-3a_{1} + 113a_{2})n + (-3a_{0} + 16a_{1} - 72a_{2}) + 3n^2 = 0 \)
Se igualan los términos del mísmo orden y se obtiene el sisguiente sistema:
-109a_{2} = -3
-3a_{1} + 113a_{2} = 0
-3a_{0} + 16a_{1} - 72a_{2} = 0
¿Está correcto el ejercicio?
Muchísimas gracias por tu tiempo y ayuda
