Como lo que buscas es una aproximación, hagamos un leve ajuste. En lugar de considerar las probabilidades originales, consideremos \( p=\displaystyle\frac{(0.252+0.236)}{2}=0.244 \). Es decir, que el porcentaje de hombres que no desayunan es igual al de mujeres y dicho valor común es el 24.4%.
Sean \( X= \)"cantidad de hombres que no desayunan en la muestra de 200" e \( Y= \)"cantidad de mujeres que no desayunan en la muestra de 200".
Entonces buscas \( P(X+Y\ge110)=1-P(X+Y<110) \).
Hallemos la distribución de \( X \):
\( P(X=x)=P(x\mbox{ de los 200 nunca desayunen})=\displaystyle\binom{200}{x}p^x(1-p)^{200-x} \). Entonces \( X \) es binomial del tipo \( B(200,p) \)
Análogamente es \( Y\sim B(200,p) \).
Por otra parte, si \( \{X_i\}_{i=1}^n \) es una familia finita de binomiales del tipo \( B(m_i,p) \), entonces \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i}\sim B(m_1+\cdots+m_n,p) \)
Por tanto \( X+Y\sim B(200+200,p)=B(400,p) \).
Luego, \( P(X+Y<110)=\displaystyle\sum_{i=0}^{109}\displaystyle\binom{400}{i}p^{i}(1-p)^{400-i}\approx{1} \) (lo saqué con mathematica. No me da decimales...
).
Concluye.
Saludos.
PD: El resultado es creíble... de los 200 hombres esperamos que 50 no desayunen. Lo mismo de las mujeres, de modo que esperamos que 100 no desayunen. Cualquier valor mayor a 100 (en tu caso, 110) es altamente probable.
