Autor Tema: Inecuaciones con valor absoluto

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

29 Marzo, 2011, 02:27 am
Leído 5638 veces

akmaurei

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 5
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
       \(  \left |{1+\left |{x-2}\right |+x}\right |\leq{4} \)

¿Cuál seria el conjunto solución de esta inecuación?

29 Marzo, 2011, 02:41 am
Respuesta #1

mathtruco

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,947
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • El gran profesor inspira
Hola akmaurei,

 bienvenida al foro!!


Primero notemos que

\(  \left |{1+\left |{x-2}\right |+x}\right |\leq{4} \)

es equivalente a


\( -4\leq  {1+\left |{x-2}\right |+x} \leq{4} \)


Con eso, ahora debemos darnos dos casos:

Caso 1: si\( x-2\geq 0 \) (es decir, \( x\geq 2 \)): entonces

    \( -4\leq 1+ x-2+x \leq{4} \)

    \( -3\leq 2x \leq 5 \)

    \( \dfrac{-3}{2}\leq x \leq \dfrac{5}{2}  \)

    por lo que en este caso: \( x\in [2,5/2] \)



Caso 2: si\( x-2< 0 \) (es decir, \( x< 2 \)): entonces

    \( -4\leq 1+ -x+2+x \leq 4 \)

    \( -4\leq 3 \leq 4 \)

    la solución para esta inecuación son todos los reales (ya es cierta independiente del valor de \( x \), y por tanto en el caso 2 tienes que \( x\in (-\infty,2) \).


Uniendo las soluciones de ambos casos obtienes la solución del problema:  \( (-\infty,5/2] \).




29 Marzo, 2011, 03:12 am
Respuesta #2

akmaurei

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 5
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Ok, creo que entendí todo lo que acabas de explicar, ahora mi duda radica en, ¿Por qué las soluciones las unes y no las intersectas? si no es mucha la molestia.
Gracias.

29 Marzo, 2011, 03:55 am
Respuesta #3

mathtruco

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,947
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • El gran profesor inspira
No es molestia. Todo viene de la lógica (y la definición de valor absoluto):


\( |a|:=\left\lbrace\begin{array}{rl} a &\quad \textrm{ si }a\geq 0 \\ -a &\quad \textrm{ si }a<0\end{array}\right. \)


Además. tienes que un número puede ser positivo o negativo, es decir, tienes dos casos:

 caso 1:   \( |a|=a \) si \( a\geq 0 \)
 caso 2:   \( |a|=-a \) si \( a< 0 \).


Es decir, se puede dar un caso o el otro (por ejemplo: el 2 es positivo o negativo, el -1 es positivo o negativo, el 0 es positivo o negativo...)

Y por si no habías notado, siempre que tienes un o unes las soluciones, y si tienes un y las intersectas. Esto viene de la definición de unión e intersección de conjuntos, respectivamente. Por ejemplo, para la intersección tienes:

\( x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B \).


PS: me disculparás las dedundancias, pero me parece que así queda más claro.