[Jupa]

Hola a todos! Estoy teniendo problemas con el siguiente ejercicio que dice lo siguiente:

Tres jugadores tiran al blanco. La probabilidad de que el jugador 1 dé en el blanco es \( \frac{1}{6} \), la probabilidad de que el jugador 2 dé en el blanco es \( \frac{1}{4} \) y la probabilidad de que el jugador 3 dé en el blanco es \( \frac{1}{3} \). Cada uno dispara una vez.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado solamente una vez?

LLamando:
\( A_1= \)"el jugador 1 da en el blanco"
\( A_2= \)"el jugador 2 da en el blanco"
\( A_3= \)"el jugador 3 da en el blanco"
\( B = \)"el blanco es alcanzado solamente una vez"

\( P(B) = P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(B)P(\bar{A})P(\bar{C}) + P(C)P(\bar{A})P(\bar{C})=\frac{31}{72} \)

Me dio la respuesta correcta pero...es la forma correcta de pensarlo o existe otra forma o fórmula? En este caso usé que son sucesos independientes.

b) ¿Si sólo uno da en el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido el jugador 1?

Acá quiero calcular \( P(A_1\mid B) \) entonces se me ocurrio que podía usar el Teorema de Bayes que sería

\( P(A_1\mid B) = \frac{P(B\mid A_1)P(A_1)}{P(B)} \) pero no se como hallar \( P(B\mid A_1) \) si lo analizo en si lo que dice \( B\mid A \) es que dado que el jugador 1 dio en el blanco ¿cuál es la probabilidad de que se de solamente una vez en el blanco?
entonces se que si fuese al menos una vez tendría \( P(B\mid A_1) = 1 \) pero en este caso no se la forma correcta.

Si hago \( \frac{P(A_1)P(\bar{A_2})P(\bar{A_3})}{P(B)}=\frac{6}{31} \) que es la respuesta correcta pero por la fórmula de Bayes eso no es exactamente \( P(B\mid A_1) \). Espero alguien me pueda dar una mano porque estoy bastante mareado.

Saludos!

[p1e2d3]

Hola...

He repasado tus operaciones y están bien. Quizás te resulte más sencillo de entender los pasos si haces un diagrama de árbol y analizas los caminos que implican los sucesos que plantea el enunciado.

La primera pregunta es una probabilidad total, y la solución es correcta.

La segunda pregunta, como tu bien indicas, se resuelve a través del teorema de Bayes, puesto que es una probabilidad a posteriori (es decir, sabes que se ha dado en el blanco una sola vez, y te preguntas por la probabilidad de un hecho previo, que fuese el tirador 1 el que acertase). En el numerador debe aparecer la intersección de los sucesos B y A1 (siguiendo tu nomenclatura) y en el denominador la probabilidad total B, que calculaste en el primer apartado. El resultado también es correcto.

  

[algebraico]

Hola, el cálculo de la segunda opción, probabilidad de que habiendo dado en el blanco sea el jugador 1(\( P(A_1\mid B) \)) a mi me sale 12/31 y no 6/31:
\( P(A_1\mid B) = \frac{P(B\mid A_1)P(A_1)}{P(B)}= \frac{1/6}{31/72}=\displaystyle\frac{72}{186}=\displaystyle\frac{12}{31} \), que alguien corrija el error por favor, si lo hay.