Es claro que si \( X,Y \) son independientes, entonces \( Cov(X,Y)=0 \).
El recíproco creo que es falso.
Supongamos que \( Cov(X,Y)=0 \). Entonces \( E[XY]=E[X]E[Y] \).
Pero:
\(
\begin{array}{lllllllll}
E[XY]&=&\displaystyle\sum xyf_{X,Y}(x,y)&=&f_{XY}(1,1)&=&P(X=1,Y=1)&=&p_{11}\\
E[X]&=&\displaystyle\sum xf_X(x)&=&f_X(1)\\
E[Y]&=&\displaystyle\sum yf_Y(y)&=&f_Y(1)\\
\end{array}
\)
Entonces por hipótesis tenemos \( p_{11}=f_X(1)f_Y(1) \).
Por otra parte, para que sean independientes se ha de cumplir que \( m_{X,Y}(u,v)=m_X(u)m_Y(v) \).
Pero \( m_X(u)=E[e^{uX}]=\displaystyle\sum e^{ux}f_X(x)=f_X(0)+e^uf_X(1) \) y análogamente \( m_Y(v)=E[e^{vY}]=\displaystyle\sum e^{vy}f_Y(y)=f_Y(0)+e^vf_Y(1) \).
Luego \( m_X(u)m_Y(v)=f_X(0)f_Y(0)+e^vf_X(0)f_Y(1)+e^uf_X(1)f_Y(0)+e^{u+v}f_X(1)f_Y(1) \)...(*)
Finalmente, es fácil demostrar que \( m_{X,Y}(u,v)=p_{00}+e^vp_{01}+e^up_{10}+e^{u+v}p_{11} \)...(**).
Así, es claro que no tienen por qué coincidir los valores de (*) y (**).
Saludos.
