[Hasclepio]

Hola

Tengo un problema que dice así: la resistencia de un conducto es una Va R con densidad constante en (900,1100) Ohm. Hallar la esperanza de la corriente Z con un voltaje de 120V, es decir de la Va Z=120/R

Lo único que he sabido hacer, es deducir que entonces, la densidad será: \( \displaystyle \int_{900}^{1100} c = 1\Rightarrow 200c=1 \Rightarrow c = \dfrac{1}{200} \) ya que  me dicen que es constante la densidad en ese intervalo.

Y me piden la esperanza de otra  Va, .... ni idea. Sé que por definición es  \( E(Z)=\dispaystyle \int z \cdot \dfrac{120}{z} dz \) pero no entiendo muy bien el problema...

¿Alguien me puede echar una mano? un saludo y gracias

[Dogod]

Hola,

Si no estoy tan mal, la esperanza es \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x.F(x) \).

En donde \( F(x) \) es la función de distribución resultante de integrar la densidad en el intervalo \( [a, x] \), una vez hallada la constante \( c \) que la hace densidad.

Espero haberme explicado y que te sirva.

Un saludo.

[Hasclepio]

Hola

Ya, pero \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x.F(x) \) es para cuando la variable aleatoria puede tomar todos esos valores. Aquí, como me dan un rango, pues se supone que será cero en otro caso.

Es que si meto ahí una integral con infinitos, pues no converge!

[Héctor Manuel]

En general, dada \( X \) variable aleatoria con función de densidad \( f(x) \) y \( Y=g(X) \) una función de dicha V.A., tendremos que \( Y \) es otra variable aleatoria, cuya esperanza viene dada como \( E[Y]=E[g(X)]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx \).

En tu caso tienes \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{200}\mathrm{I}_{(900,1100)}(x) \) (\( \mathrm{I}_{(900,1100)}(x) \) significa que la función vale 1/200 en el intervalo (900,1100) y 0 en otro caso).

Por otra parte, como \( y=g(x)=\dfrac{120}{x} \), entonces \( E[Y]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx=\displaystyle\int_{\color{red}\frac{120}{1100}}^{\color{red}\frac{120}{900}}\color{black}\dfrac{120}{x}\cdot\displaystyle\frac{1}{200}dx \).

Concluye.

Saludos.

Editado: los límites de integración eran erróneos.  En mi siquiente post explico mejor

[Hasclepio]

ah vale, es que lo estaba haciendo mal. Gracias Hector, sino era la idea lo que quería saber, si el resultado no me importa, no es ninguna tarea.

un saludo

[Héctor Manuel]

Otra forma de hacerlo es directamente (aunque en este caso, directo no significa rápido)

Sean \( F_X(x) \) y \( F_Y(y) \) las funciones de distribución acumulativas de \( X \) e \( Y=120/X \), y \( f_X(x) \) y \( f_Y(y) \) sus distribuciones respectivamente.  Nota que \( X \) e \( Y \) son positivas.

Por tanto, \( F_Y(y)=P(Y\le y)=P\left(\dfrac{120}{x}\le y\right)=P\left(\dfrac{120}{y}\le x\right)=1-P\left(x\le\displaystyle\frac{120}{y}\right) \)\( =1-F_X\left(\displaystyle\frac{120}{y}\right) \).

Así, usando la regla de la cadena, \( f_Y(y)=f_X\left(\dfrac{120}{y}\right)\dfrac{120}{y^2}=\dfrac{120}{200y^2}\mathrm{I}_{(900,1100)}\left(\dfrac{120}{y}\right)=\dfrac{120}{200y^2}\mathrm{I}_{\left(\frac{120}{1100},\frac{120}{900}\right)}(y) \).

Luego, \( E[Y]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)dy=\displaystyle\int_{\frac{120}{1100}}^{\frac{120}{900}}y\cdot \dfrac{120}{y^2}dy=\displaystyle\int_{\frac{120}{1100}}^{\frac{120}{900}}\dfrac{120}{200y}dy \)

que es el casi el resultado de mi post anterior, lo cual muestra que en dicho post me equivoqué con los límites de integración.  Lo corrijo en un momento.

Saludos.

[Dogod]

Hola

Ya, pero \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x.F(x) \) es para cuando la variable aleatoria puede tomar todos esos valores. Aquí, como me dan un rango, pues se supone que será cero en otro caso.

Es que si meto ahí una integral con infinitos, pues no converge!

A lo que yo me refería era precisamente a la propiedad que cita Héctor Manuel.

Una vez hallada la constante \( c \) que hace de tu función una densidad, puedes hallar el valor esperado de \( \displaystyle\frac{120}{t} \) de la siguiente manera:

\( \displaystyle\int_{900}^{1100}\displaystyle\frac{1}{200}\cdot{\displaystyle\frac{120}{t}}\cdot{dt}= -\displaystyle\frac{6}{5}Ln(3)+\displaystyle\frac{3}{5}Ln(11) \)

Un saludo.