Pufff. Bastante complicado.
Es posible demostrar que si \( X,Y\sim{U(0,1)} \) son independientes y \( U=X+Y \), entonces
\( f_U(u)=u\mathrm{I}_{(0,1)}(u)+(2-u)\mathrm{I}_{(1,2)}(u) \)
Usando esta notación, lo que debemos encontrar es la función de densidad de \( W=U+Z \).
Por un resultado conocido, tendremos:
\( \begin{eqnarray*}
f_W(w)&=&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_Z(w-u)f_U(u)du\\
&=&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{I}_{(0,1)}(w-u)\left(u\mathrm{I}_{(0,1)}(u)+(2-u)\mathrm{I}_{(1,2)}(u)\right)du\\
&=&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}u\mathrm{I}_{(0,1)}(w-u)\mathrm{I}_{(0,1)}(u)du+\int_{-\infty}^{\infty}(2-u)\mathrm{I}_{(0,1)}(w-u)\mathrm{I}_{(1,2)}(u)du\\
\end{eqnarray*} \)
Demuestra que el primer integrando es igual a \( u\left(\mathrm{I}_{(0,1)}(w)\mathrm{I}_{(0,w)}(u)+\mathrm{I}_{(1,2)}(w)\mathrm{I}_{(w-1,1)}(u)\right) \), y el segundo es igual a \( (2-u)\left(\mathrm{I}_{(1,2)}(w)\mathrm{I}_{(1,w)}(u)+\mathrm{I}_{(2,3)}(w)\mathrm{I}_{(w-1,2)}(u)\right) \). De aquí tenemos:
\( \begin{eqnarray*}
f_W(w)=\mathrm{I}_{(0,1)}(w)\displaystyle\int_{0}^{w}u^2du+\mathrm{I}_{(1,2)}(w)\int_{w-1}^1u^2du+\mathrm{I}_{(1,2)}(w)\int_1^wu(2-u)du+\mathrm{I}_{(2,3)}\int_{w-1}^2u(2-u)du
\end{eqnarray*}
\)
Ahora únicamente resuelve las integrales.
Saludos.
