[Hasclepio]

Tengo duda con varios problemas de probabilidad sencillos y algunos me atranco.

Por ejemplo, me dicen que cierto experimento solo hay dos resultados posibles \( A \) y \( A^c \) (c de complementario) y que \( p=P(A)=0.3 \); se realiza un experimento independientemente 10 veces.

Calcular que salga \( A \) la primera vez y \( A^c \) las restantes. Yo aquí he hecho que \( P(A\set A^c\dots A^c)=p^1 (1-p)^9 \) ¿estaría bien?

Después me piden lo mismo pero para que A suceda exactamente una vez... usando combinaciones sería \( \displaystyle\binom{10}{1} p^1 (1-p)^9 \) ¿no? es que lo de exactamente una cara me lía un poco, porque después me piden:

la probabilidad de que no suceda A ¿qué sería \( (p(A^c))^{10} \) no?

 y por último la probabilidad de que suceda A por lo menos una vez y esta no la sé hacer... ¿no sería lo mismo que antes?

Gracias y un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Por ejemplo, me dicen que cierto experimento solo hay dos resultados posibles \( A \) y \( A^c \) (c de complementario) y que \( p=P(A)=0.3 \); se realiza un experimento independientemente 10 veces.

Calcular que salga \( A \) la primera vez y \( A^c \) las restantes. Yo aquí he hecho que \( P(A\set A^c\dots A^c)=p^1 (1-p)^9 \) ¿estaría bien?

Correcto; ten en cuenta que por ser sucesos independientes la probabilidad del suceso intersección es el producto de cada una de las probabilidades de los distintos sucesos.

Después me piden lo mismo pero para que A suceda exactamente una vez... usando combinaciones sería \( \displaystyle\binom{10}{1} p^1 (1-p)^9 \) ¿no? es que lo de exactamente una cara me lía un poco, porque después me piden:

Correcto.

la probabilidad de que no suceda A ¿qué sería \( (p(A^c))^{10} \) no?

Correcto.

y por último la probabilidad de que suceda A por lo menos una vez y esta no la sé hacer... ¿no sería lo mismo que antes?

Es la complementaria de la que has calculado antes, es decir, de la complementaria de que \( A \) no suceda nunca:

 \( 1- p(A^c)^{10} \)

Saludos.

[Hasclepio]

Hola El Manco (gracias)

La última entonces ería:

Porque \( p(A^c)=1-p(A) \) así que \( 1-(1-p(A))^{10}=0.97  \) es que me parecía muy alta esa probabilidad

Y por último, un problema que no sé como empezar es:

Se elige un punto cualquier (azar) dentro de un triángulo de vértices origen (1,0) y (0,1). Sabiendo que su absisa es menor que 1/2, me piden hallar la probabilidad de que su ordenada sea menor que 1/2

Este no lo sé ni empezar. Si al menos me lo pudieras más o menos resolver para así hacer los demás que se basan en él, te lo agradecería

un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Porque \( p(A^c)=1-p(A) \) así que \( 1-(1-p(A))^{10}=0.97  \) es que me parecía muy alta esa probabilidad

Intuitivamente es razonables que sea alta; de diez intentos es "muy raro" que al menos en uno no suceda \( A \) (que tiene probabilidad \( 0.3 \)).

Se elige un punto cualquier (azar) dentro de un triángulo de vértices origen (1,0) y (0,1). Sabiendo que su absisa es menor que 1/2, me piden hallar la probabilidad de que su ordenada sea menor que 1/2

Es un problema de probabilidad geométrica; el espacio muestral es \( \Omega \)={región del plano limitada por el triángulo dado}. La probabilidad que un punto \( (x,y)  \) sea elegida en una región medible \( A\subset \Omega \) del mismo es:

\( P(A)=\dfrac{\mbox{\'area }A}{\mbox{\'area tri\'angulo}}=\dfrac{\mbox{\'area }A}{1/2}=2\mbox{\'area }A \)

 Ahora consideramos:

 \( A_1=\{\mbox{puntos del tri\'angulo con abcisa menor que 1/2}\} \)
 \( A_2=\{\mbox{puntos del tri\'angulo con ordenada menor que 1/2}\} \)

 Te piden la probabilidad condicionada:

 \( P(A_2|A_1)=\dfrac{P(A_2\cap A_1)}{P(A_1)} \)

 Termina...

Saludos.

[Hasclepio]

Hola, gracias de nuevo el manco.

El último no me sale, es que estoy empezando con la probabilidad, y nunca lo había hecho con problemas geométricos, por eso quería al menos uno de ejemplo. Pero en fin, luego me pondré más en serio a ver si lo saco.

Lo único, ya aprovecho para preguntarte otra duda que no sé si la tengo bien:

¿cuando ponen calcular la probabilidad de obtener exactamente una cara, qué se quiere decir en concreto? ¿que aparezca una cara obligatoriamente no? ¿y sino ponen delante la palabra exactamente, qué quiere decir?

por ejemplo, si se lanza una moneda (equi. prob) tres veces, y me piden la probabilidad de obtener exactamente una cara, yo lo hago suponiendo listas ordenadas de orden 3, así que serían \( 2^3 \) resultados posibles. y de ahí, los resultados que tienen exactamente una cara serían todos menos cuando salen las tres cruz, es decir 3/8 ¿no?

Porque después me piden el mismo ejercicio pero que tenga por lo menos una cara... ¿qué quiere decir respecto a lo anterior? me lía sobretodo el enunciado, porque el problema no es complicado

gracias, es que estoy empezando con la probabilidad y me está costando ahora al ppio.

[Luis Fuentes]

Hola

¿cuando ponen calcular la probabilidad de obtener exactamente una cara, qué se quiere decir en concreto? ¿que aparezca una cara obligatoriamente no?

Que si lanzas la moneda tantas veces como te indica, se obtenga al menos alguna cara en algún lanzamiento (pueden aparecer más caras).

¿y sino ponen delante la palabra exactamente, qué quiere decir?

Que se obtenga una cara en exactamente uno sólo de los lanzamientos (y cruz en el resto).

por ejemplo, si se lanza una moneda (equi. prob) tres veces, y me piden la probabilidad de obtener exactamente una cara, yo lo hago suponiendo listas ordenadas de orden 3, así que serían \( 2^3 \) resultados posibles. y de ahí, los resultados que tienen exactamente una cara serían todos menos cuando salen las tres cruz, es decir 3/8 ¿no?

Los resultados en los que sale exactamente una cara son tres \( cxx,xcx,xxc \) (la frase "todos menos cuando salen tres cruz" me resulta confusa: parace que serían entonces siete y no tres como pones)

Porque después me piden el mismo ejercicio pero que tenga por lo menos una cara... ¿qué quiere decir respecto a lo anterior? me lía sobretodo el enunciado, porque el problema no es complicado

Entonces los caso favorables son siete:\( cxx,xcx,xxc,ccx,cxc,xcc,ccc \).

Saludos.

[Hasclepio]

Hola, muchas gracias!

Lo que no veo claro, y sigo sin entender muy bien, es en este tipo de modelo, binomial, con experimentos independientes y solo dos resultados posibles, cómo hallar cuando me dicen "al menos"

Es decir, si por ejemplo, con el mismo modelo, suponiendo que es una moneda, con resultado cara o cruz, y me dan la probabilidad de cara p, y me piden que en al menos tres tiradas, salga cara ¿cómo se hace?

Sé que son sucesos independientes, y tengo resuelto numéricamente el ejercicio que sería p(< 3)=p+(1-p)p pero no lo comprendo.

¿No se podría hacer con complementarios? es decir, lo que no veo conceptualmente claro, es como hallar la probabilidad de cuando me dicen que sea "al menos" en tres tiradas cara (o cruz me da igual).

Si por favor, alguien me lo puede explicar (lo que quiero es entenderlo, si tengo hecho el ejercicio numéricamente!) muchas gracias

[Héctor Manuel]

La manera de resolver un problema de probabilidad del tipo "al menos" depende, en sí, del gusto de quien lo está resolviendo.

Me explico con el ejemplo de la moneda:  "De cuatro lanzamientos, calcular la probabilidad de que al menos uno sea cara"

Bien. Alguien puede decir:
El hecho de que al menos una vez obtengamos cara significa "\( \mbox{Evento }A_1: \)obtener una cara y tres cruces" u "\( \mbox{Evento }A_2: \)obtener dos caras y dos cruces" u "\( \mbox{Evento }A_3: \)obtener tres caras y una cruz" u "\( \mbox{Evento }A_4: \)obtener cuatro caras y ninguna cruz".  Ahora nota que claramente los eventos \( A_i \) son disjuntos (no puedes obtener, por ejemplo, una cara y tres cruces y al mismo tiempo obtener dos caras y dos cruces).  Por tanto la respuesta será \( P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4) \).

Por otra parte, alguien puede decir: El hecho de que al menos una vez obtengamos cara puede obtenerse calculando la probabilidad de que nunca salga cara.  Por tanto, la probabilidad buscada es \( 1-P(\mbox{se obtienen 4 cruces}) \).

Como verás, el segundo método fué más rapido que el primero, pero ello se debió a que únicamente son 4 lanzamientos y a que preguntas la probabilidad de que "al menos una cara se obtenga".

Pero si se pide calcular la probabilidad de que en 50 lanzamientos salgan 5 caras, será más rápido el primer método (veríficalo).

Más aún, si se pide calcular la probabilidad de que en 50 lanzamientos salgan 25 caras, ambos métodos tardarán el mismo tiempo en resolver el problema, de modo que debes escoger cuál aplicar (aunque repito, los dos tardarán lo mismo).

Espero que te haya quedado más claro.

Saludos.