[ZZtop]

Estoy tratando de resolver este ejercicio, pero no logro hallar la b:



Suponga que la variable aleatoria discreta X tiene la siguiente distribución de probabilidad:

\( x_i  \)    0.1     0.4     0.6
\( p_i  \)    0.2     0.3     0.5

a) Calcule la varianza y la esperanza de X

b) Determine la distribución de probabilidad de \( Y=100(x-(1/2))^2 \)

c) Calcule la varianza y la esperanza de Y.




Para hallar la parte "a" use que:

\( E=\displaystyle\sum_{x\in{ImgX}}{xP(X=x)} \) de donde tengo:
 
\( E=(0.1)0.2+(0.4)0.3+(0.6)0.5=0.44 \)

Mientras que \( Var=\displaystyle\sum_{}}{(x-E(X))^2P(X=x)} \) de donde tengo:

\( Var=(0.1-0.44)0.2+(0.4-0.44)0.3+(0.6-0.44)0.5=0.24528 \)

Pero no logro ver la parte b, ¿Acaso debo reemplazar los \( x_i \) en Y y las probabilidades se mantienen?. Me parece que esta mal si lo hago así.

Gracias de antemano.

[Héctor Manuel]

La forma más sencilla es, como dices, sustituir los valores de \( x_i \) "en \( Y \)".

Por ejemplo, para \( X=0.1 \) tendremos que \( 100(0.1-\frac{1}{2})^2=16 \), de modo que
\( \begin{eqnarray*}P(Y=16)&=&P\left(100\left(X-\frac{1}{2}\right)^2=16\right)\\&=&P\left(X=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\mbox{  \'o  }X=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}\right)\\&=&P(X=0.9\mbox{  \'o  }X=0.1)\\&=&P(X=0.9)+P(X=0.1)\\&=&0+0.2\\&=&0.2\end{eqnarray*} \)

Debes hacer lo mismo para \( x=0.4 \) y \( x=0.6 \).

Saludos.