[matematica11]

Tres cajas contienen bolas blancas y negras. La caja A tiene 5 bolas blancas y 5 bolas negras. La caja B tiene 2 bolas blancas y 8 bolas negras. La caja C tiene 7 bolas blancas y 3 bolas negras, tomando una bola al azar de cada caja.

Calcule la probabilidad de que las 3 bolas seleccionadas sean del mismo color.
 
Digo cual es  el espacio muestal \(  \Omega=\left\{{(N,N,N),(N.B,N),(N,B,B),(N,N,B),(B,N,N),(B,N,B),(B,B,B),(B.B,N)}\right\} \)

El evento será: "se extaren bolas del mismo color" \( A=\left\{{(N,N,N),(B,B,B)}\right\} \)

Aunque también podría hacerlo calculando la probabilidad de que sean por ejemplo negras y blancas y sumarlas no? pero es correcto lo que he hecho? saludos

[pepito]

Ese espacio muestral es válido, y el evento sería ese. Pero mucho cuidado: lo que te están pidiendo acá es la probabilidad de tu evento \( A \). Vos no podés afirmar que dicha probabilidad sea \( \frac 14 \) haciendo "casos favorables dividido casos totales", porque en tu espacio muestral no hay equiprobabilidad.

Imaginate un caso extremo: las 3 urnas tienen 999 bolas blancas y 1 negra. El espacio muestral sería el mismo. Sin embargo, la probabilidad de extraer todas las bolas del mismo color debería ser muy cercana al 1, no tendría sentido que dé \( \frac 14 \).

Si querés calcular la probabilidad que te están pidiendo, deberías considerar otro espacio muestral, que te dé más información que la que contiene tu \( \Omega \), y en el que haya equiprobabilidad (recomendado), o bien puedas calcular con facilidad la probabilidad de cada resultado del experimento por separado (no lo recomiendo, pero si tenés ganas de hacerlo para tu \( \Omega \), como posible, es posible).

[matematica11]

hola pepito no me queda muy claro lo que me dices, pero si elijo como mi espacio muestral a mi evento A, puede funcionar 

[pepito]

El espacio muestral tiene que abarcar a todos los posibles resultados del experimento. Tu evento \( A \) no cumple eso.

Lo que te conviene hacer acá es numerar a las bolas de cada caja. Por ejemplo, en la caja B, que tiene 2 blancas y 8 negras, vos le das los números 1 y 2 a las blancas, y 3, 4, 5, 6, 7, 8 a las negras. Entonces, en vez de registrar en el espacio muestral solamente el color de la bola que salió en dicha caja, registrás su número (ya sabiendo qué color le corresponde a cada número de bola). El hecho de que sea blanca, se va a traducir en que este número sea 1 o 2, y el hecho de que sea negra, en que sea entre 3 y 8.

Pero lo importante es que entiendas cuál es la verdadera necesidad de hacer esto. Es lo que te decía en la respuesta anterior. Si registrás sólamente el color de la bola, no hay equiprobabilidad. Si en cambio, registrás cuál bola es específicamente la que salió, ahí sí va a haber.

[matematica11]

Ahhh pepito yo sólo estaba considerando el color, ahora si enumero puedo considera todas las bolas, pero también debo enumerar las de las otras cajas, para luego ser el espacio muestral las ternas que se forman, con los distintos subindices, siendo estos los numeros del 1 al 10?

[pepito]

Exactamente. Eso también te va a permitir caracterizar el evento \( A \), pero esta vez en un espacio en el que hay equiprobabilidad.

[matematica11]

A ver mi espacio muestral puede ser asi 

\( (A,B,C)=\left\{{w_i,w_j,w_k}\right\} \) donde \( 1\leq{i,j,k\leq{10}} \), si este es el caso para los eventos tendría que considerar cuando las bolas son solo blancas y cuando son solo negras?

En la caja A, numeramos las bolas blancas del 1 al 5 y las negras del 6-10 las negras
En la caja B , del 1-2 las blancas del 3-10 las negras
en la caja C, 1-7 blancas 8-10 negras

Por ejemplo el evento de elegir ternas de solo bolas blancas seria \( \left\{{w_i,w_j,w_k}\right\} \) con \( 1\leq{i\leq{5}} \), \( 1\leq{j\leq{2}} \), \( 1\leq{k\leq{7}} \)

[pepito]

Exacto, pero deberías perfeccionar un poco la notación, el uso de paréntesis, llaves, subíndices, y demás. Yo entiendo lo que querés decir, pero la realidad es que se presta a confusión (especialmente el uso que hacés de los subíndices).

Ahora tu espacio muestral tiene 1000 resultados posibles, y la probabilidad de cada uno es de \( \frac{1}{1000} \). Dado un evento, sólo es cuestión de contar a cuántos resultados abarca, y multiplicar dicha cantidad por \( \frac{1}{1000} \) para saber su probabilidad (cosa que, con el otro espacio muestral, no podías hacer, porque los resultados no eran equiprobables).

[matematica11]

hola pepito, me podrías decir como escribirlo correctamente como tu dices , para escribir otro problema pero con mejor notación saludos

[pepito]

Ahhh que bueno que te intereses, pensé que no me ibas a dar bola. En primer lugar, los paréntesis suelen usarse para encerrar pares, tríos (o en general, n-úplas) ordenados, y las llaves, para conjuntos. Eso igual no es algo tan relevante, pero ayuda a la claridad.

Lo más importante es el uso coherente de los subíndices. Si vos escribís esto: \( \{(w_i,w_j,w_k)/1\leq i,j,k\leq 10\} \) lo que estás haciendo es escribir de forma condensada al conjunto

\( \{ (w_1,w_1,w_1),(w_1,w_1,w_2), \ldots ,(w_1,w_1,w_{10}),(w_1,w_2,w_1),(w_1,w_2,w_2), \ldots , (w_1,w_2,w_{10}), \ldots ,\\ \\(w_{10},w_1,w_1),(w_{10},w_1,w_2), \ldots , (w_{10},w_1,w_{10}),(w_{10},w_2,w_1),(w_{10},w_2,w_2), \ldots ,\\ \\ (w_{10},w_2,w_{10}), \ldots ,(w_{10},w_{10},w_1),(w_{10},w_{10},w_2), \ldots ,(w_{10},w_{10},w_{10}) \} \)

cosa que de por sí no me dice nada, porque yo no sé qué son los \( w \), tengan el índice que tengan. En todo caso, una forma correcta de escribir ese conjunto sería \( \{(i,j,k)/1\leq i,j,k\leq 10\} \), o si te gustan los subíndices, podrías poner \( \{(x_1,x_2,x_3) / 1\leq x_1,x_2,x_3\leq 10\} \). En ese caso, los subíndices tienen una razón de ser, porque indican la posición que ocupa cada número en la terna ordenada.