mmm estoy cayendo en un detalle sobre el (2) (y por tanto sobre (3)): importa el orden. Es decir, es diferente el podio AAB que el ABA aunque hayan dos banderas iguales (caso (b)).
Corrijo entoces:
(a) Este caso está bien (los ganadores son del mismo país)
(b) Bueno. Ya tenemos que hay \( \displaystyle\binom{8}{2} \) formas de escoger las nacionalidades. Luego, digamos que se escogieron las nacionalidades A y B. Cada palabra de la forma {A,A,B} o {A,B,B} representa un podio. Es decir, una vez que tenemos las dos nacionalidades, debemos escoger a cuál de ellas le corresponden dos ganadores y a cuál le corresponde 1. Esto se hace de 2 formas (son los dos conjuntos {A,A,B} y {A,B,B}).
Tenemos entonces ya el país con dos ganadores y el país con uno solo. Ahora bien, si tenemos por ejemplo {A,A,B}, debemos ver cómo pueden ponerse estas banderas en el podio. Es decir cuántas palabras hay con una B y dos A. El total es 3.
Por tanto la respuesta a (b) es \( \displaystyle\binom{8}{2}*2*3 \)
(c) Este caso es más sencillo. Como ya sabemos que hay \( \displaystyle\binom{8}{3} \) formas de elegir las nacionalidades, cada una de estas formas se puede acomodar en el podio de \( 3!=6 \) maneras. Entonces la respuesta en este caso es \( \displaystyle\binom{8}{3}3! \).
Por tanto la respuesta de (2) es \( \displaystyle\binom{8}{1}+2*3\displaystyle\binom{8}{2}+3!\displaystyle\binom{8}{3} \).
Como ya indiqué antes, un análisis similar nos mostrará en cuántos de esos no está Italia, pero considerando 7 países en lugar de 8.
Saludos.
