[Atila]

Consideremos las variables aleatorias \( X_1 \) y \( X_2 \) con funciones de probabilidad:

\( P(X_1=k) =q^{k-1}*p \), \( k=0,1,2,3,... \)
\( P(X_2=-k) =q^{k-1}*p \), \( k=0,-1,-2,-3,... \)

Supondremos que para cualesquiera \( i,j\in{\{0,1,...\}} \), \( P(\{w\in{\omega}:X_1(w)=i, X_2(w)=-j\})=P(X_1=i)P(X_2=-j) \) . Determinanar las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias:
 \( U=X_1-X_1 \), \( Y=X_1+{X_1}^2 \) y \( Z=X_1-X_2 \).


Sólo pude iniciar la distribución de U la cual creo que es así:

\( P(U=0) = 1 \) y \( P(U=k)=0, \forall{k\neq{0}} \)

Gracias y un saludo!!

[Héctor Manuel]

Para Y:


\( \begin{eqnarray*}P(Y=y)&=&P(X_1^2+X_1=y)\\&=&P(X_1^2+X_1-y=0)\\&=&P\left(X_1=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\right)\\&=&P(X_1=k_y)\end{eqnarray*} \)

donde \( k_y=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2} \).

Nota entonces que \( k_y\in\{0,1,2,\cdots\} \), así que debes establecer condiciones sobre \( y \) para hallar el espacio muestral de \( Y \).

Saludos.