[GunSNRoSeS]

Alguien que sepa del tema podria ayudarme a resolver los siguientes ejercicios, sobre el tema de estimadores

1.- Sean \( E(x_i) = \mu \)   \( V(x_i) = \sigma^2 \)

    Comprobar si el siguiente estimador es insesgado:     \( \displaystyle\prod_{i=1}^n x_i^\displaystyle\frac{1}{n} \)

2.- Comprobar si \( \displaystyle\prod_{i=1}^n x_i^\displaystyle\frac{1}{n} \)
   es mas eficiente que este estimador: \( \displaystyle{ \sigma^2 \over n} \)



gracias.

(editado)

[Héctor Manuel]

1) Tenemos \( E\left[X_1^n\cdots X_n^n\right]=E\left[X_1^n\right]\cdots E\left[X_n^n\right]=E\left[X^n\right]^n=\mu_n^n \) donde \( \mu_n \) es el \( n \)-ésimo momento... ahora bien, qué es lo que quieres estimar?

2)  Lo mismo... depende de qué quieres estimar.

Saludos.

[GunSNRoSeS]

hola hector gracias por la respuesta, acabo de editar el post y resulta que no era \( x_i^n \)  sino \( x_i^\displaystyle\frac{1}{n} \)
disculpa la molestia, y pues de lo que quiero estimar , mejor te pongo el enunciado completo:

Sean \( E(x_i) = \mu \)   \( V(x_i) = \sigma^2 \)

Se tienen diversas propuestas de estimadores de \( \mu \) , entre ellos :

\( \hat{\theta} \) = \(  \displaystyle\prod_{i=1}^n x_i^\displaystyle\frac{1}{n} \)

Y se pide demostrar si es insesgado o sesgado, y luego se pide la pregunta 2°

eso es saludos.



pd: La demostracion es algo asi:

\( E[\hat{\theta}] \) = \( E[\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i^\displaystyle\frac{1}{n}] \)

[Héctor Manuel]

Ok.  Eliminé los otros mensajes para continuar con la discución del ejercicio.

i) Bien, entonces observa que \( E[\widehat{\theta}]=E\left[X^\frac{1}{n}\right]^n \), que en general es diferente de \( \mu \) (toma por ejemplo una uniforme en (0,1).  Tendrás que \( E[\widehat{\theta}]=\left(\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{n}+1}\right)^n\neq \displaystyle\frac{1}{2} \)).  Luego, no es insesgado.

ii)  Sea \( \widehat{\theta_1}=\dfrac{\sigma^2}{n} \).

Por un lado,
\( \begin{eqnarray*}Var(\widehat{\theta})&=&Var(X_1^\frac{1}{n}\cdots X_n^\frac{1}{n})\\&=&E\left[X_1^\frac{2}{n}\cdots X_n^\frac{2}{n}\right]-E^2\left[X_1^\frac{1}{n}\cdots X_n^\frac{1}{n}\right]\\&=&E\left[X^\frac{2}{n}\right]^n-E^{2n}\left[X^\frac{1}{n}\right], \end{eqnarray*} \)

y por otro,
\( Var(\widehat{\theta_1})=\displaystyle\frac{1}{n^2}Var(\sigma^2) \).  Si \( \sigma^2 \) es conocido, entonces es claro que \( \widehat{\theta_1} \) es un estimador más eficiente (pues su varianza es 0, que es menor que \( E[\widehat{\theta}] \)).  En caso contrario, tendremos que saber cómo estimar a \( \sigma^2 \).

Saludos.

[GunSNRoSeS]

Ok.  Eliminé los otros mensajes para continuar con la discución del ejercicio.

i) Bien, entonces observa que \( E[\widehat{\theta}]=E\left[X^\frac{1}{n}\right]^n \),

gracias de nuevo, una consulta, ahi no se cancelan los \( n \) ? o ese \( n \) esta fuera de la esperanza

[Héctor Manuel]

Queda por fuera.  Tal vez sea mejor escribirlo como \( E^n\left[X^\frac{1}{n}\right] \).  Entonces no se pueden cancelar.

Saludos.