[gregorcantor]

El problema es el siguiente:
Se lanza una moneda equilibrada el número de veces necesarias para que que aparezca por primera vez la secuencia XCC, momento en el que se para. ¿Cuál es la probabilidad de parar en el lanzamiento n-ésimo?
Le he dedicado bastante tiempo a este problema y no consigo nada útil.
A ver si a alguien lo resuelve.

[aabrahamramirez]

no entiendo la pregunta, el numero de veces necesarias para que aparesca sello,cara,cara es lanzar 3 veces la moneda

[pepito]

Si \( n=1 \) o \( n=2 \), la probabilidad es \( 0 \). Si \( n=3 \), es \( \frac 18 \).

Para \( n>3 \), necesitás multiplicar por \( \frac 18 \) a la probabilidad de no obtener la secuencia XCC en \( n-3 \) lanzamientos. Para \( n=4 \) y \( n=5 \) dicha probabilidad es \( 1 \). Para \( n=6 \) es \( 1-\frac 18 \). En general, para \( n\geq 6 \), lo podés calcular usando el principio de inclusión exclusión. Si no te sale, avisá.

[gregorcantor]

Creo que no es tan fácil como dices:
Por ejemplo si n=4, la probabilidad de obtener la secuencia XCC en el cuarto lanzamiento condicionada a que no se ha obtenido en el lanzamiento n-3= 1, no es 1/8, sino 2/14 ya que hay que eliminar los dos casos XCCX y XCCC, en los que se habría obtenido la secuencia en el lanzamiento 3.
En el caso n=5, la probabilidad de obtener la secuencia XCC en el quinto lanzamiento condicionada a que no se ha obtenido en el lanzamiento n-3=2, tampoco es 1/8, ya que habría que eliminar los casos XCCXC, XCCXX, XCCCX, XCCCC, XXCCX, XXCCC, CXCCX y CXCCC en los que la secuencia se obtiene en los lanzamientos 3º o 4º. Habría 4 casos de un total de 24, luego su probabilidad sería 4/24.
Seguir así, no me ha llevado a ningún lado. Para los casos n>6, es más complicado contarlos porque ya puede ocurrir que haya salido XCC en el lanzamiento n=3.
A ver si alguien ve algo más

[pepito]

No, estás pensándolo al revés. Lo que yo te decía, para el caso n=4, por ejemplo, es que la probabilidad de obtener XCC en los tiros 2, 3 y 4 es de \( \frac 18 \). Y la probabilidad de NO obtener XCC en los tiros 1, 2 y 3 condicionado a que se obtuvo XCC en los tiros 2, 3 y 4 es 1. Si quisieras hacerlo como vos decís, es decir, calcular la probabilidad de que no salga XCC en los tiros 1, 2 y 3, y después calcular la probabilidad de que salga XCC en los tiros 2, 3 y 4 condicionada a que no salió en los tiros 1, 2 y 3, sería muchísimo más complicado. La probabilidad de que no salga XCC en los tiros 1, 2 y 3 es de \( \frac 78 \), claramente. Pero la probabilidad de que salga XCC en los tiros 2, 3 y 4 condicionada a que no salió en los tiros 1, 2 y 3 no se calcula de la manera que vos hiciste.

Para n=5 pasa lo mismo.

Y para \( n\geq 6 \), la probabilidad de obtener XCC es los tiros n-2, n-1 y n es de \( \frac 18 \). Y la probabilidad de no obtener XCC antes de eso condicionada a que se obtuvo XCC es los tiros n-2, n-1 y n, es igual a la probabilidad de no obtener XCC en n-3 tiros, que se calcula usando el principio de inclusión - exclusión (o posiblemente sea menos trabajoso conjeturar una fórmula y probarla por inducción, fijate vos y decime).

Me estoy valiendo de que la secuencia con la que nos piden terminar, XCC, es bastante conveniente (a diferencia de si fuera, por ejemplo, XCX), porque vos ya sabés que si tenés la secuencia XCC en los tiros n-2, n-1 y n, entonces es imposible que la hayas tenido en los tiros n-3, n-2 y n-1, así como en los tiros n-4, n-3 y n-2. Eso te simplifica las cosas sobremanera, porque te permite independizar los primeros n-3 tiros de los últimos 3.

Acordate que el orden cronológico de las tiradas no te importa, justamente porque son independientes entre sí. Podés hablar con libertad de "la probabilidad de no obtener XCC en los tiros 1, 2 y 3 condicionado a que se obtuvo XCC en los tiros 2, 3 y 4", sin ningún problema en usar el verbo "obtener" en tiempo pasado para referirse a algo que en el experimento real ocurriría después. Lo que vos tenés es una tira de X's y C's, nada más.