[navajo]

Imploro alguna pista de los sabios del foro.

Dada la curva e de ecuaciones implícitas

\( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 1 \)

\( e^{xy} +x^2-z^2=1 \)

Demostrar que en un entorno del punto \( (x, y, z) = (2,0,2) \) la curva puede parametrizarse con respecto del parámetro \( t = x \) como \( a(x) = (x,y(x),z(x)). \)

Muchas gracias

[Tanius]

Es una aplicación directa del teorema de la función implícita. ¿Tienes alguna duda con verificar que se cumplen las condiciones del teorema?

[navajo]

ya voy pillando.

Sea el sistema de ecaciones formado por las funciones definidas implícitamente por la ecuaciones

\( f_1(x,y,z)=0 \)

\( f_2(x,y,z)=0 \)

siendo \( z \) e \(  y  \) las variables intermedias y \( x \) la única variables definida independientemente.

En algunos casos el sistema se puede resolver expresando las variables intermedias \( z \) e \(  y  \), en función de \( x \), pero ello no siempre es posible y, en esta caso, se dice que existe un sistema de funciones implícitas.

Este sistema será compatible y determinado cuando el rango de la matriz de los coeficientes, llamada matriz Jacobiana, sea igual al número de incógnitas ( que en este caso es igual a dos). Esta condición equivale a que el determinante de la matriz de los coeficientes se no nulo.

Ahora voy y lo casco!

[navajo]

Una última pregunta:

Ahora se que es compatible y determinado pero

¿cómo calcularía el vector tangente a C y el plano normal a e en el punto (2,0,2).?