[Grilllo]

Un punto P es interior a un triángulo, cuyos lados mayores son b y c.
Si l, m y n son las distancias a los vértices, demostrar que l + m  + n
es menor que  b + c.



El programa procede de un preparatorio para el ingreso en la Escuela de
Minas, por los años 50.
Este problema es como la lucha libre.... vale todo, pueden usar: geometría euclídea, analítica, proyectiva, trigonometría, afín, vectores, grafos, análisis, álgebra, intuición, adivinación, astrología, ¡lo que quieran!

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Una posible prueba:

Spoiler

Razonando con cuidado, no hace falta practicamente ninguna cuenta....

 1) Podemos suponer c=a. Basta girar el segmento n aumentando a y disminuyendo c hasta igualarlos. Si probamos la desigualdad para ese c más pequeño, la tendremos para el triángulo inicial. (Este argumento puede reiterarse incluso hasta reducir el problema a un triángulo equilátero... pero no hace falta).

 2) Fijamos la longitud m+l. Entonces estudiamos donde hay que colocar P para que m+l+n sea máximo. Esto es fácil si se tiene en cuenta que con m+l fijo, P recorre precisamente la elipse de focos los extremos del lado b. Ahora es muy fácil comprobar que m+l+n es máximo precisamente cuando P está sobre el lado a o el lado c.

 3) Una vez que probado esto, es inmediato comprobar que si P está sobre los lados a o c el máximo valor de m+l+n es b+c.

[cerrar]

Saludos.