[Tlaloc]

             Una de las cuestiones que más me ha inquietado es la existencia de conjuntos no medibles en la recta real. He entendido, y aceptado la existencia de los mismos, más que nada porque he seguido las demostraciones constructivas de varios de ellos, pero sigo recordando el impacto que me supuso. ¿Porqué no va a existir una medida definida en un subconjunto bien definido de R?
            Todas las construcciones que he visto de un conjunto no medible-Lebesgue invocan el axioma de elección. Existen construcciones de conjuntos no medibles sin necesidad de tal axioma?
             No tengo nada contra ellos, pero si no existieran, todo sería mucho más sencillo. La sigma-algebra de los medibles se ampliaría hasta el conjunto de partes, con lo que la teoría de la probabilidad, por poner un ejemplo, se simplificaría bastante.
              Tengo la intuición de que el axioma de elección está en el fondo de este asunto, pero a partir de cierto nivel, la intuición es tan mala consejera...
              Un cordial saludo a todos.

[José]

Tlaloc,
la intuición sólo te falla en parte. No es necesario asumir el axioma de elección con toda su potencia para
deducir la existencia de conjuntos no medibles, pero si que es necesario asumir algún tipo de resultado parecido.
De hecho, se puede eliminar el axioma de elección y asumir en cambio que todos los conjuntos de R son
medibles, no se llega a ninguna contradicción, solamente que entonces tendríamos una teoría donde el axioma de
elección (y muchos otros resultados que dependen de él) es falso.
Un saludo
JM

[teeteto]

El problema es que hay muchos enunciados equivalentes al axioma de eleccion y que son vitales en otras teoria...por ejemplo el famoso Lema ed Zorn que se emplea en álgebra cada dos por tres.
Sin el por ejemplo ni siquiera se podria demostrar la existencia de ideales maximales en anillos con 1
saluditos