Hola carlosjz.
Bienvenido al foro.
Utiliza el código LaTex para tus fórmulas. A demás, corrige la ortografía por favor.
En cuanto a tu ejercicio:
Piensa en el diagrama siguiente: ____|____|____|____
Son cuatro cajas.
Tu problema es cómo repartir 31 pelotas en estas cuatro cajas. Dependiendo de las restricciones que te planteen será el modelo a seguir.
Por ejemplo, en este caso, no tienes restricciones.
Luego, el número de soluciones viene dado de la siguiente manera:
Tienes 31 bolitas. Cada caja se separa una de otra por una línea vertical. Hay tres verticales (las del diagrama)
Por tanto, cada arreglo *********...***||| (las bolitas son asteriscos) representa una forma de acomodar las bolitas.
Por ejemplo, ***|**|*****...| significa 3 bolas en la primera caja, dos en la segunda, 26 en la tercera y ninguna en la cuarta.
O bien, **|*****|**|*****...* significa dos en la primera, 5 en la segunda, 2 en la tercera y 22 en la cuarta.
Es decir, el primer ejemplo corresponde a la solución \( x_1=3,x_2=2,x_3=26,x_4=0 \).
El segundo es la solución \( x_1=2,x_2=5,x_3=2,x_4=22 \).
Entonces, si has entendido todo lo que te he dicho, debes contar cuántas palabras se pueden formar con 31 asteriscos y 3 palitos.
El total es entonces \( \displaystyle\binom{31+3}{3}=\displaystyle\binom{34}{3} \)
Saludos.
PD: Hay otro método menos artesanal, que es con funciones generadoras, pero es preferible que entiendas primero este procedimiento.
