Hola a tod@s, tengo dudas con un problema espero me puedan orientar en como resolverlo:
Se lanza sucesivamente una moneda balanceada, hasta obtener 2 veces consecutivas sol o 2 veces consecutivas águila. Encuentra la esperanza del número de lanzamientos que se realizan.
Lo que hice fue lo siguiente:
X= número de lanzamientos hasta obtener 2 veces sol o 2 veces águila.
\( P[X=k] = P[X= k, Sol] + P[X= k, Aguila] \)
\( = P[X= k|S] P(S) + P[X= k|A] P(A) \)
\( = ({1 \over 2})^{k-1}({1 \over 2}) + ({1 \over 2})^{k-1}({1 \over 2}) \)
\( = {1 \over 2^k} + {1 \over 2^k} \)
\( = {1 \over 2^{k-1}} \)
\( k\in{\{2, 3, 4,...}\} \)
\( P[X=k]= \displaystyle\sum_{i=k}^\infty {1 \over 2^{i-1}}
= \displaystyle\sum_{i=1}^\infty {1 \over 2^{i-1}} - \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} {1 \over 2^{i-1}} \)
sea \( r = i-1 \)
\(
= \displaystyle\sum_{r=o}^\infty {1 \over 2^{r}} - \displaystyle\sum_{r=0}^{k-2} {1 \over 2^{r}} \)
Hasta aquí no sé si estoy bien, espero puedan ayudarme.
Desde ya mil gracias.
