[pepito]

Copio y pego este ejercicio:

En aquel país, la probabilidad de que una mujer de a luz una niña es, exactamente, del cincuenta por ciento. El gobierno decreta que solo recibirán la pensión de jubilación aquellos que sean padres de, al menos, una niña. Como reacción a esta ley, las mujeres siguen la siguiente estrategia: tener hijos hasta que uno de ellos sea niña y ahí parar.

Así las cosas, ¿cuál será la proporción de niñas en el país?

Fuente: http://www.epsilones.com/paginas/p-problemas2.html#prob-ninno-ninna

Esta es la solución que proponen:

Pues 1/2.

Si pensamos solo en el primer hijo de cada mujer, la proporcion es, por el enunciado, 1/2.

Si pensamos solo en el segundo hijo de cada mujer, la proporcion es, por el enunciado, 1/2.

Si pensamos solo en el segundo hijo de cada mujer, la proporcion es...

Ahora bien:

Me parece que esta es una mala aplicación del teorema de probabilidad total. Lo que creo que está haciendo es definir los eventos

\( M \) = "ser mujer"

\( A_i \) = "ser el hijo número \( i \) de la familia"

y pretende usar que

\( P(M)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P(M\cap A_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P(M|A_i)P(A_i)} \)

Él cree que \( P(M|A_i)=\frac 12\quad\forall i\in\mathbb{N} \), cosa que en principio habría que poner en duda, dado que las madres tienen una estrategia específica en este país para tener hijos.

De hecho, si definimos el evento

\( B_i \) = "pertenecer a una familia que tiene \( i \) hijos"

sería

\( P(M)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P(M\cap B_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P(M|B_i)P(B_i)} \)

Como es

\( P(M|B_i)=\frac 1i \)   y   \( P(B_i)=(\frac 12)^i \)

nos queda que la probabilidad de ser mujer en este país es mayor que \( \frac 12 \), o sea que el decreto del gobierno sirvió.

¿Están de acuerdo?

[pepito]

Bueno, ya encontré un problema con esto:

La probabilidad de que una familia seleccionada al azar tenga \( i \) hijos, es \( (\frac 12)^i \), pero esta no es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar pertenezca a una familia que tiene \( i \) hijos. Me parece que tendría que ser

\( P(B_i)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{i}{2^i}}{\displaystyle\sum_{j=1}^\infty{\frac{j}{2^j}}} \)     (sé que \( \displaystyle\sum_{j=1}^\infty{\frac{j}{2^j}} \) es convergente porque la comparo con \( \displaystyle\sum_{j=1}^\infty{\left (\frac 34 \right )^j} \))

De ser así, quedaría

\( P(M)=\left (\displaystyle\sum_{j=1}^\infty{\frac{j}{2^j}}\right )^{-1} \)

Todo me indica que esto da \( \frac 12 \). Así que, buen, si consigo convencerme de que la respuesta que proponen en la página es correcta, estaría demostrando probabilísticamente que

\( \displaystyle\sum_{j=1}^\infty{\frac{j}{2^j}}=2 \)

[pepito]

Bueno, convencido: \( P(M|A_i)=\frac 12\quad\forall i\in\mathbb{N} \)

Como esto implica que \( P(M)=\frac 12 \), queda probado que

\( \displaystyle\sum_{j=1}^\infty{\frac{j}{2^j}}=2 \)

Bue, no sé si habré descubierto el agua tibia... qué sé yo.



AGREGADO:

Acá hay una demostración más sencilla de lo mismo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,33351.0.html