¿De verdad a nadie se le ocurre? ¿O no lo están pensando? Yo lo estuve tratando de hacer y tengo tal vez una primera aproximación, pero lo crucial todavía me está faltando (agrego: mejor dicho, este mensaje puede obviarse tranquilamente; no aporta ninguna ayuda útil).
Mi idea sería pensar esto como la cantidad de formas de repartir \( m \) bolillas indistinguibles en \( n+1 \) cajas numeradas con la condición de que, para todo \( 1\leq i\leq n \) se cumpla que el total del bolillas repartidas entre las cajas \( 1 \) a \( i \) sea mayor o igual que \( i \) (de acá en más la llamamos "la condición").
Lo primero que hice (cosa que supongo nos va a ser útil) es trasladar el problema al caso \( n+1=m \). Para eso definí:
\( \varphi (j)= \) la cantidad de formas de repartir \( j \) bolillas indistinguibles en \( j \) cajas numeradas cumpliendo la condición. Y defino \( \varphi (0)=1 \) (esto depués va a ser útil).
En el caso general (\( n+1 \) y \( m \) no necesariamente iguales), la cantidad total de formas de repartir las \( m \) bolillas en las \( n+1 \) cajas (sin la condición) ya sabemos que es \( \binom{n+m}{n} \). A esto le deberíamos restar todas las combinaciones que no cumplen la condición. Pero eso es fácil en términos de \( \varphi \).
Si la caja 1 no cumple la condición: tenemos \( \displaystyle\binom{n+m-1}{n-1} \) posibilidades.
Si la caja 1 cumple la condición y la 2 no: tenemos \( \varphi (1)\displaystyle\binom{n+m-3}{n-2} \) posibilidades.
Si la caja 2 cumple la condición y la 3 no: tenemos \( \varphi (2)\displaystyle\binom{n+m-5}{n-3} \) posibilidades.
Y así siguiendo, es muy fácil ver que el resultado que buscamos es \( \displaystyle\binom{m+n}{n}-\displaystyle\sum_{j=1}^n{\varphi (j-1)\displaystyle\binom{n+m-2j+1}{n-j}} \)
Ahora lo que faltaría es encontrar una fórmula cerrada para \( \varphi \).
Lo cierto es que podemos usar el mismo razonamiento que usé antes, para encontrar una fórmula recursiva (de aspecto muy parecido al de la que obtuve para la solución general) que nos permita calcular todos los valores de \( \varphi \) que necesitaríamos. Pero no sé en que medida esto resuelve el problema. Es cierto que se estaría calculando lo pedido en una cantidad finita de pasos... pero para eso, también uno podría decir que el problema se resuelve en una cantidad finita de pasos si contamos una por una todas las disposiciónes de las \( n+m \) personas que cumplen lo pedido. Y en realidad, no estaríamos diciendo nada.
