[sitlitus]

1. Una partícula está situada en un punto de la cara interior de un embudo. El coeficiente de rozamiento estático entre la partícula y la pared del embudo es μ. Si el embudo gira en torno del eje vertical de simetría a velocidad angular constante ω,

a) ¿cuál es la menor velocidad angular ωmin a la que puede girar de tal manera que permanezca en reposo respecto al embudo?

b) ¿cuál es la mayor velocidad angular ωmax a la que puede girar de tal manera que
permanezca en reposo respecto al embudo?

2.  En un parque de atracciones una plataforma circular de radio r = 2,0 m gira a velocidad angular
ω y está inclinada un ángulo α respecto a la horizontal. La frecuencia ω es suficientemente grande para
que las personas estén siempre en contacto con la pared, y las personas se apoyan únicamente en ella
(existe una fuerza de fricción suficiente para evitar su deslizamiento)

a) dibuje los diagramas de fuerza en los puntos A y B, inferior y superior de la
plataforma.

b) obtenga el valor de la fuerza normal N a la pared que actúa sobre una persona
de masa m = 60 kg, en los puntos A y B, cuando α = 45° y ω = 2,0 rad/s

3. El bloque de masa m desliza sobre la cuña de masa M con rozamiento
despreciable.
Si la cuña está en reposo respecto del suelo, debido a una fuerza de
rozamiento estático, calcule las componentes horizontal y vertical de la fuerza
que el suelo ejerce sobre la cuña.


Además, si alguien está interesado en hacer problemas de física os dejo esta página, que es la del cole, y podéis acceder a ellos sin ningún problema.
http://dfa.upc.es/docencia/f1/prob/

SAludos

[Richard R Richard]

1) Resulta $$\omega=\sqrt{\dfrac{g}{r}\dfrac{(\cos\alpha\pm\color{blue}\mu_e\color{black} \sin\alpha)}{(\sin\alpha\mp\color{blue}\mu_e\color{black}\cos\alpha)}}$$  es mínima cuando esta apunto de caer en espiral hacia adentro cuando se usa el signo menos en el numerador  y máxima al contrario... esto es invertido en el denominador. $$\alpha$$ es el ángulo entre el eje vertical del cono y su superficie.

2)$$N=m\omega^2r\pm mg\cos 45$$ positiva cuando esta abajo (B)y negativo arriba(A).

3)$$N_m=m_pg\cos\alpha$$

fuerzas en vertical al piso $$=N_b=N_m\cos\alpha+m_bg=m_pg\cos^2\alpha+m_bg$$

fuerzas en horizontal  $$F_r=\mu N_b$$

[JCB]

Hola a tod@s.

Después de bastante tiempo, me animo a intervenir de manera discreta en alguno de los temas "resucitados" por Richard. En el caso de la partícula situada en la cara interior de un embudo, a mí me sale

\( \omega_{min.}=\sqrt{\dfrac{g}{r}\cdot\dfrac{\cos\theta-\mu_e\sin\theta}{\sin\theta+\mu_e\cos\theta}} \)

\( \omega_{max.}=\sqrt{\dfrac{g}{r}\cdot\dfrac{\cos\theta+\mu_e\sin\theta}{\sin\theta-\mu_e\cos\theta}} \)

Saludos cordiales,
JCB.

[delmar]

Hola

1) En efecto es mínima cuando esta a punto de caer y máxima cuando esta a punto de subir, creo que Richard R Richard ha tenido un error tipográfico al no poner \( \mu_e \), JCB puso las respuestas correctas. Sería bueno poner el desarrollo.

Saludos

[Richard R Richard]

Voila!!! apareció el coeficiente rozamiento, gracias !!!


tomando un sistema de referencia con las x paralelas a la tangente que pasa por el vértice del cono. Sentido positivo hacia el vértice ..


$$\sum F_x\to \quad mg\cos\alpha\mp \mu_e N=m\omega^2 R\sin\alpha$$  Ec1 el rozamiento tiene signo negativo cuando cae y positivo si intenta ascender. Siempre en contra del posible movimiento. Ese signo termina  haciendo mínimo al numerador  y máximo el denominador al intentar  caer, resultando en una mínima velocidad angular, y viceversa al intentar subir.



$$\sum F_y\to \quad N-mg\sin\alpha=m\omega^2 R\cos\alpha$$  Ec2


despejas $$N$$ de la ec2 y reemplazas en la ec1 , y despejas $$\omega$$

[JCB]

Hola a tod@s.

Pues yo hice el desarrollo de manera parecida a Richard, pero empleando un eje \( X \) horizontal, y un eje \( Y \) vertical:

1) Con la velocidad angular mínima, la fuerza de rozamiento tiene dirección sobre la generatriz del embudo y sentido hacia arriba.

\( \sum{F_x}=ma \), \( -N\cos\theta+\mu_eN\sin\theta=-m\omega_{min}^2r \)

\( \sum{F_y}=0 \), \( N\sin\theta-mg+\mu_eN\cos\theta=0 \)

Despejando,

\( \omega_{min}=\sqrt{\dfrac{g}{r}\cdot\dfrac{\cos\theta-\mu_e\sin\theta}{\sin\theta+\mu_e\cos\theta}} \)

2) Con la velocidad angular máxima, la fuerza de rozamiento tiene dirección sobre la generatriz del embudo y sentido hacia abajo.

\( \sum{F_x}=ma \), \( -N\cos\theta-\mu_eN\sin\theta=-m\omega_{max}^2r \)

\( \sum{F_y}=0 \), \( N\sin\theta-mg-\mu_eN\cos\theta=0 \)

Despejando,

\( \omega_{max}=\sqrt{\dfrac{g}{r}\cdot\dfrac{\cos\theta+\mu_e\sin\theta}{\sin\theta-\mu_e\cos\theta}} \)

Saludos cordiales,
JCB.

[delmar]

Muestro un análisis físico - matemático del problema. Considero una referencia XYZ, con el origen coincidiendo con el vértice del embudo (cono), eje Z positivo, coíncide con el eje de rotación del cono, luego el cono gira con una velocidad de rotación \( w\vec{k} \). La partícula P esta inmóvil respecto al cono (como si fuera parte de el) en consecuencia su trayectoria es una circunferencia de radio R, que esta en un plano \( z=h\vec{k} \) horizontal y el centro es el punto \( (0,0,h) \), P tiene un movimiento circular, considerando coordenadas cilíndricas su posición es \( (R, \theta, h) \) donde solo \( \theta  \) es función del tiempo, evidentemente \( tag \alpha=\displaystyle\frac{R}{h} \).
Su posición en coordenadas cartesianas \( \forall{t} \) es :

\( r(t)=Rcos \theta \vec{i}+R sen \theta \vec{j}+h\vec{k} \)

Por derivaciones sucesivas respecto a  t considerando que \( \theta'=w \wedge \theta''=0 \) se tiene :

\( V(t)=-R sen \theta \  w \vec{i}+R cos \theta w \vec{j}=Rw \ \mu_{\theta} \)

\( a(t)=-R cos \theta\  w^2 \vec{i}-R sen \theta w^2 \vec{j}=-Rw^2 \ \mu_r \)

Donde \( \mu_{\theta} \wedge \mu_r \) son los vectores unitarios tangencial y radial los cuales varían en el tiempo por que dependen de \( \theta \)

Las fuerzas que actúan sobre P son el peso \( -mg \ \vec{k} \) constante, la fuerza normal a la superficie cónica (normal a la generatriz y a la circunferencia en la cual esta P) \( \vec{N}=-N cos \alpha (cos \theta \vec{i}+sen \theta \vec{j})+N sen \alpha \vec{k}=-N cos \alpha \ \mu_r+N sen \alpha \vec{k} \)

Otra fuerza es la  de rozamiento es una fuerza superficial, que en general tendría una componente en la dirección de la generatriz y otra en la dirección tangencial \( \vec{F}=f_g \mu_g +f_t \mu_{\theta} \) donde \( \mu_g=sen \alpha \mu_r+cos \alpha \vec{k} \) esto implica que \( F=f_g sen \alpha \mu_r+f_g cos \alpha \vec{k}+f_t \mu_{\theta} \)

La Ley de Newton implica :

\( \vec{F}+\vec{N}-mg\vec{k}=m\vec{a} \)

En la dirección \( \mu_r \)

\( -N cps \alpha + f_g sen \alpha=-mRw^2  \) Ec 1

En la dirección \( k \)

\( N sen \alpha+ f_g cos \alpha-mg=0 \) Ec 2

En la dirección \( \mu_{\theta} \)

\( f_t=0 \)

Ahí esta demostrado que el rozamiento solo existe en la dirección de la generatriz no en la circunferencia.


Resolviendo Ec 1 y 2

\( f_g=mg cos \alpha-mR \ w^2 sen \alpha \) cuando esta por caer

\( f_g=-mg cos \alpha+mR \ w^2 sen \alpha \) cuando esta por subir

\( N=mg sen \alpha +mR \ w^2 cos \alpha \)

Poniendo la restricción :

\( f_g\leq{\mu_e \ N} \)

Cuando esta por caer

\( w\geq{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{g}{R} \ (\displaystyle\frac{cos \alpha-\mu_e sen \alpha}{sen \alpha + \mu_e cos \alpha})}} \)

Ahí esta la mínima

Cuando esta por subir

\( w\leq{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{g}{R} \ (\displaystyle\frac{cos \alpha+\mu_e sen \alpha}{sen \alpha - \mu_e cos \alpha})}} \)

Ahí esta la máxima


Saludos