[waky]

Buenas

Quiero probar  de manera gráfica y teórica lo siguiente.

\( E(x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}(1-F_x(x))dx \)

con \( F_x  \)la distribución de la variable aleatoria continua.

Saludos

[waky]

Buenas

Es decir
\( \displaystyle\int_{0}^{\infty} 1-F_x(x)dx \)=\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xf_x(x)dx \)


con \(  F_x  \)  la distribución de la v.a continua y \(  f_x  \) la densidad.

otra manera de verlo

\( E(x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} P(X>x) \) con X una V.A.C

Saludos.

[waky]

Buenas

Alguna sugerencia por favor .

Saludos

[Héctor Manuel]

Es falso.

Tomamos \( f_X(x)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& -2\leq{x}\le-1\\0 & \mbox{en otro caso}& \end{matrix} \)

Entonces \( F_X(x)=\begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si }& x<-2\\x+2 & \mbox{si}& -2\le x\le-1\\1 & \mbox{si}& x>-1\end{matrix} \).

Por tanto \( 1-F_X(x)=\begin{Bmatrix}{ 1}&\mbox{ si }& x<-2\\-1-x & \mbox{si}& -2\le x\le-1\\0 & \mbox{si}& x>-1\end{matrix} \).

Por lo tanto \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}(1-F_X(x))dx=0 \) y \( E[X]=-\displaystyle\frac{3}{2} \).

Saludos.

[Héctor Manuel]

De hecho, aunque no veo por qué, en la página 65 de Introduction to the Theory of Statistics de Mood aparece que es \( E[X]=\displaystyle\int_{0}^{\infty}(1-F_X(x))dx-\displaystyle\int_{-\infty}^{0}F_X(x)dx \) para cualquier variable aleatoria \( X \) (discreta o continua) siempre que ambas integrales sean finitas.

Saludos.

[kwarriork35]

Hola! Vi por ahí que la fórmula que plantea waky es cierta cuando el rango de la variable es no negativo. He aquí una prueba que encontré donde se aplica integración por partes

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=283910

Solo no entiendo cómo probar este límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{ x(1 - F(x)) = 0} \)

hector manuel, si me podrías ayudar...
Gracias!! 

[gaston]

Fijate que cuando \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty} F(x) = 1} \)
por ser F(x) la funcion de distribucion

[kwarriork35]

Exacto! Pero entonces tendría un límite con indeterminación infinito por cero cierto?? ... Lo que he visto es que el segundo término se va más rápido a cero que \( x \) a infinito, y por esto el límite es cero! Basta con esta justificación?
Gracias!