Hola
Como dice "usando todas y cada una de las letras", entiendo que se refiere a usar todas las letras de la frase inicial (tantas veces como aparezcan repetidas en ella) y por supuesto las palabras no tienen porqué tener significado y son de longitud arbitraria.
Entonces estamos contando la forma de reordenar veintiún caracteres de los cuales algunos se repiten:
dos ces, cinco aes, dos tes, tres erres, dos es, dos eses, dos eles
Son por tanto permutaciones con repetición:
\( PR_{21;2,5,2,3,2,2,2}=\dfrac{23!}{2!5!2!3!2!2!2!} \)
Finalmente tenemos que contar las posibilidades para partir nuestros veintiún caracteres en tres palabras. Equivalentemente el número de soluciones enteras de:
\( x_1+x_2+x_3=21,\quad x_i\geq 1 \)
O llamando \( y_i=x_i-1 \),
\( y_1+y_2+y_3=18,\quad y_i\geq 0 \)
Se trata de combinaciones con repetición de tres elementos tomados de \( 18 \) de \( 18 \):
\( CR_{3,18}=\displaystyle\binom{3+18-1}{18}=\displaystyle\binom{20}{2} \)
(otra forma de llegar a lo mismo es pensar simplemente que para separar en tres palabras escogemos donde poner los dos huecos entre las \( 20 \) posibilidades posibles)
En definitiva la solución sería:
\( \displaystyle\binom{20}{2}\dfrac{23!}{2!^55!3!} \)
Saludos.
