Hola
Si tenemos dos v.a. \( X,Y \)con distribuciones acumuladas \( F,G \)respectivamente. Definimos \( Z=X+Y \) y para \( x+y=z \) definimos \( F_m=sup(max(F(x)+G(z-x)-1,0) \) y \( F_M=inf(min(F(x)+G(z-x),1) \) entonces \( F_m\leq{}P(X+Y\leq{}z)\leq{}F_M \).
La prueba surge de notar que si \( X>x,Y>z-x \) entonces \( Z>z \) con lo cual
\( P(Z\leq{}z)\leq{}P(X\leq{}x\cup{}Y\leq{}z-x)\leq{}F(x)+G(z-x) \) y por lo tanto tenemos la cota superior.
Ahora para la cota inferior surge de notar que:
\( P(X<x)+P(Y<z-x)-P(X<x,Y<z-x)\leq{}1 \).
Ahora cómo puede emplearse que \( H(x,y)\geq{}F(x)G(y) \) para mejorar esta cota siendo \( H \) la distribución conjunta de las dos v.a.
Saludos
