[pi*alfa]

Hola, tengo problemas con estos ejercicios:
1) Si \(  X  \) es una variable aleatoria binomial negativa con parametro \(  r  \) y \(  p  \), muestra que
\(  P(X sea par)=\displaystyle\frac{1}{2}[1 + (-1)^r (\displaystyle\frac{p}{2-p})^r ]  \)

2)Si \(  P(0\leq{X}\leq{a})=1  \) muestra que:
 \(  Var (X)\leq{\displaystyle\frac{a^2}{4}}  \)
Saludos xD.

[Luis Fuentes]

Hola

 1) Recuerda la fórmula de la serie binomial negativa:

\(  \displaystyle\sum_{m=0}^\infty{}\displaystyle\binom{m+k}{k}z^m=\dfrac{1}{(1-z)^{k+1}} \)

 Ahora:

\(  P(X\quad par)=p^r\displaystyle\sum_{n\geq r,\quad n\; par}^\infty{}\displaystyle\binom{n-1}{r-1}(1-p)^{n-r}=

 p^r\displaystyle\sum_{m=0,\quad m+r\; par}^\infty{}\displaystyle\binom{m+r-1}{r-1}(1-p)^{m} \)

 Si \( r \) es par puede escribirse como:

\(  \dfrac{1}{2}p^r\left(\displaystyle\sum_{m=0}^\infty{}\displaystyle\binom{m+r-1}{r-1}(1-p)^{m}+\displaystyle\sum_{m=0}^\infty{}\displaystyle\binom{m+r-1}{r-1}(-1+p)^{m}\right) \)

 y usando la fórmula de la serie binomial negativa:

\( \dfrac{1}{2}p^r(\dfrac{1}{p^r}+\dfrac{1}{(2-p)^t})=\dfrac{1}{2}(1+\left(\dfrac{p}{2-p}\right)^r) \)

 Análogamente haz el caso en el que \( r \) es impar.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 2) \( Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=E(X^2)-E(XE(X))=E(X(X-E(X)) \)

 Ahora como la probabilidad el soporte de la v.a. es \( [0,a] \):

\( Var(X)= E(X(X-E(X))\leq E(a(x-E(x))\leq E(a(a-E(X))  \) 

 con \( E(X)\in [0,a] \).

 Tu problema se reduce a maximizar la función \( f(\mu)=a(a-\mu) \) con \( \mu\in [0,a] \).

Saludos.

[pi*alfa]

Hola

 2) \( Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=E(X^2)-E(XE(X))=E(X(X-E(X)) \)

 Ahora como la probabilidad el soporte de la v.a. es \( [0,a] \):

\( Var(X)= E(X(X-E(X))\leq E(a(x-E(x))\leq E(a(a-E(X))  \) 

 con \( E(X)\in [0,a] \).

 Tu problema se reduce a maximizar la función \( f(\mu)=a(a-\mu) \) con \( \mu\in [0,a] \).

Saludos.

Hola,el primer ejercicio lo entendi perfectamente pero tengo una duda en el segundo;he maximizado la función  \( f(\mu)=a(a-\mu) \), pero  no veo de donde sale  el factor \( \displaystyle{1 \over 4}  \) 
Saludos xD

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,el primer ejercicio lo entendi perfectamente pero tengo una duda en el segundo;he maximizado la función  \( f(\mu)=a(a-\mu) \), pero  no veo de donde sale  el factor \( \displaystyle{1 \over 4}  \) 

Perdón cometí un error absurdo al acotar (caminando en una dirección inútil); lo que nos interesa es:

\( Var(X)=E(X^2)-E(X)^2\leq E(X\cdot a)-E(X)^2=E(E(X)(a-E(X)) \)

Así que lo que tienes que maximizar es:

\( f(\mu)=\mu(a-\mu) \)

Saludos.

[pi*alfa]

vale el_manco, ya logre acotar la función.
Saludos xD.