[pi*alfa]

Hola, tengo estos ejercicios, los he estado intentando pero no llego a nada concreto 

1) Si \(  X  \) es una variable aleatoria absolutamente continua con función de Distribución \(  F  \) demuestra que \(  F(X)  \) se distribuye uniforme en el \(  (0,1)  \).

2) Si \(  X  \) es una variable aleatoria no negativa, donde Si \(  \bar{F}(x)=1-F(x)  \). Entonces
  \(  E(X)= \displaystyle\int_{0}^{\infty} \bar{F}(x)\, dx  \)
donde \(  E(X)  \) es la esperanza de \(  X  \)

De antemano gracias por sus respuestas.
 

[Luis Fuentes]

Hola

 1) En general la función de disttribución de una trasnformación \( T(X) \) de una variable aleatoria \( X \), viene dada por:

 \( H(x)=P(T(X)\leq x)=P(x\in T^{-1}(-\infty,x]) \)

 En tu caso:

 \( H(x)=P(x\in F^{-1}(-\infty,x]) \)

 Ahora:

 - si \( x<0 \) entonces \( F^{-1}(-\infty,x]=\emptyset \), y por tanto \( H(x)=0 \).

 - si \( x\in [0,1) \) entonces \( F^{-1}(-\infty,x]=(-\infty,y] \) con \( F(y)=x \), por ser \( F \) monótona creciente y continua. Pero:

\(  P(X\in (-\infty,y])=P(X\leq y)=F(y)=x \)

 - Si \( x\geq 1 \)  entonces \( F^{-1}(-\infty,x]=R \) y \( P(x\in R)=1 \).

 2) Puede ser un poco delicado. ¿Qué definición de media te han dado y con qué punto de vista trabajas con las integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, teoria de la medida general,...)?

 Aquí puedes ver varias soluciones dependiendo del punto de vista:

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=283910

Saludos.

[pi*alfa]

Hola
el_manco, con respecto al primer ejercicio que subí me quedó todo muy claro, ahora bien en el segundo inciso trabajo con las integrales Riemann-Stieltjes, aunque ya volví a intentar el ejercicio integrando por partes y sí sale el resultado xD.
Gracias por tu respuesta el_manco.
Saludos

[kwarriork35]

Hola pi*alfa! Yo también estoy interesada en la demostración! Apliqué integración por partes, pero no sé cómo justificar que el primer término tiende a cero, es decir, el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{ x(1 - F(x)) = 0} \)

Gracias!