[juan_18]

Pruebe que si \( A \) es un conjunto de \( n \) elementos entonces \( \mathcal{P}(a) \) tiene \( 2^n \) elementos

Saludos

[Fernando Revilla]

El número de subconjuntos de \( A \) con \( k \) elementos es \( C_{n,k} \) (combinaciones de \( n \) elementos tomados de \( k \) en \( k \)). En total:

\( \displaystyle\binom{n}{0}+\displaystyle\binom{n}{1}+...+\displaystyle\binom{n}{n}\quad (*) \)

Si haces el desarrollo de \( (1+1)^n \) te saldrá \( (*) \). Es decir \( \#(\mathcal{P}(A))=2^n \). 

[Luis Fuentes]

Hola

 Otra forma de razonarlo puede ser la siguiente: si el conjunto \( A \) es \( \{a_1,a_2,\ldots,a_n\} \) cada subconjunto de \( A \), puede representarse como una cadena de \( n \) ceros o unos: si em la posición \( k \)-ésima aparece un cero el elemento a_k no pertenece al conjunto; si es un uno, si.

 Por ejemplo si \( A=\{1,2,3,4,5\} \) el subconjunto \( \{2,5\} \) se representaría por la cadena \( 01001 \).

 Ahora el número de tales cadenas es inmediato de contar, teniendo en cuenta que para cada elemento hay dos opciones. Por tanto son \( 2^n \) cadenas.

Saludos.