Hola, imagino que este tema quedô en el olvido pero justo estoy resolviendo el mismo ejercicio, tarde un poco en verlo claramente. Para empezar la manera mas facil de demostrar que la cardinaliad de un conjunto es igual a otro es hallando una biyeccion.
El "truco" es utilizar los diagramas de Ferrer, si \( a\in{A} \) se tiene que \( a \) tiene \( k \) partes dado que: la fila mas grande tiene tamaño k entonces la columna mas grande tiene tamaño k en la conjugada, y como a es autoconjugada se sabe que la parte mas grande de \( a \) es \( k \) y tal partición tiene k partes.
Puedes definir S (informalmente) "elimino la primera fila y columna, en el diagrama de Ferrer", así, las partes que te quedan suman: \( n - (k-1) - (k-1) - 1 \), que es \( n -2k + 1 \), y ahí es fácil darse cuenta que tal partición resultante es también autoconjugada, y la parte mas grande es a lo sumo k-1 (suponga lo contrario para demostrar esto último, aunque es intuitivo).
La función inversa la puedes definir de la siguiente manera: agregar una primera fila y columna en el diagrama de Ferrer, cada una de tamaño k.
Por supuesto, se puede hacer de una manera más rigurosa, también puedes considerar la partición como una matriz o una secuencia y consistiría en restar por aquí y por allá... pero a mi entender los diagramas de Ferrer son más intuitivos y claros.
Espero que a alguien le pueda servir,
Carlos David.
Un saludo
