[Hombremono]

¿Alguien me puede ayudar con este problema?

Demuestre directamente que  \( \mathbb{N} \),  \( \mathbb{Z} \) y  \( \mathbb{Q} \) son conjuntos Borel medibles.
Demuestre además que el conjunto de números irracionales es un conjunto de Borel de \( \mathbb{R} \)


Bueno, sé que la \( \sigma \)-álgebra de Borel de \( \mathbb{R} \) es la mínima \( \sigma \)-álgebra generada por la colección de todos los intervalos abiertos \( (a,b) \)  de \( \mathbb{R} \) donde \( {a}\leq{b} \). Pero no sé como relacionar esto con los conjuntos \( \mathbb{N} \),  \( \mathbb{Z} \) y  \( \mathbb{Q} \), o mejor dicho, no tengo claro que és lo que debo demostrar.

[Fernando Revilla]

Todo punto de \( \mathbb{R} \) es cerrado con la topología usual. Si \( A\subset{\mathbb{R}} \) es numerable, entonces \( A=\cup_{a\in{A}}{\left\{{a}\right\}} \) es unión numerable de cerrados (un \( F_{\sigma} \)) y por tanto un conjunto de Borel. Como \( \mathbb{N},\;\mathbb{Z} \) y \( \mathbb{Q} \) son numerables, son conjuntos de Borel. El conjunto de los irracionales es \( \mathbb{Q}^c \) y por tanto, tambien de Borel.