[chandal]

Buenos días.

A ver si pudieran ayudarme con este problema:

Tenemos \( 2n \) bolas rojas numeradas y \( 2n \) bolas blancas numeradas. ¿De cuántas formas distintas se pueden escoger, de entre esas \( 4n \) bolas, un conjunto con \( n \) bolas blancas y \( n \) rojas?

He pensado, que la manera de escoger \( n \) bolas entre las \( 4n \) son\( \displaystyle\binom{4n}{n} \), pero ahí no sabemos si son rojas o blancas, o hay de ambas, ¿no? En realidad tenemos que escoger \( 2n \) bolas, por lo que serían \( \displaystyle\binom{4n}{2n} \) maneras de escogerlas. Ahora creo que habría que dividir por todas las posibles combinaciones en las que no son \( n \) blancas y \( n \) rojas, pero no sé como hacer ésto. En realidad no sé si es correcto, pero es lo que se me ha ocurrido. Muchas gracias.

[mossa]

Si abstraemos el color de las bolas, tienes dos conjuntos de elementos diferentes con el mismo cardinal. Créate dos conjunto de esas características con, pongamos el caso, n=3 elementos, y realiza la distribución. Luego, generaliza.

[chandal]

No consigo llegar a generalizar algo, no llego a ver una relación entre el total de las combinaciones posibles de extraer 2n bolas, y tener n de cada color, lo he intentado con n=3, pero no llego a una conclusión. A ver si pudiera ser algo así: como las listas con 6 elementos, que tienen 3 de cada tipo hay 6! de ellas, habría que ver cuántas son del total, o algo así? pero no estoy nada seguro.

[mossa]

hay 6!

No te equivoques. El problema no habla de permutaciones (!), sino de combinaciones.

[mossa]

Una pista: puedes escoger n bolas de un grupo y n bolas de otro. Al final, tienes dos grupos con dos series que tienes que combinar. Si lo piensas así, verás que en realidad es muy fácil.

[chandal]

Lo siento mucho, pero no consigo verlo. Si eliges n bolas de cada uno de los grupos de 2n bolas hay \( \displaystyle\binom{2n}{n} \) formas de elegirlos, pero cuando están todas junatas no es lo mismo sacar 2n bolas que sacar n de cada color. No sé como combinar eso para el resultado final.

[mossa]

Fíjate que no es lo mismo \( \displaystyle\binom{4}{2} \cdot{} \displaystyle\binom{4}{2} \) que \( \displaystyle\binom{8}{4} \).

Para calcular, puedes utilizar el principio de la adición, porque se trata de dos conjuntos disjuntos.

Así es como lo entiendo yo, lo cual no quiere decir que esté bien. Quizás venga alguien más tarde y me corrija. Pero yo lo veo como dos simples combinaciones independientes que hay que sumar.

(Después de todo, acabo de estudiar este tema hace pocos días)

Para asegurarte, podrías hacerte con dos conjuntos, X={1,2,3,4} y Y={a,b,c,d} y combinarlos (sin importar el orden) en dos grupos de dos. Te llevará poco tiempo. Cuando tengo dudas, intento reducir el problema así, y de esta forma me aseguro.

Mira, acabo de hacerlo, y he comprobado que hay que multiplicar.

[Luis Fuentes]

Hola

Mira, acabo de hacerlo, y he comprobado que hay que multiplicar.

Hay que multiplicar porque por cada juego de \( n \) bolas rojas escogidas, podemos escoger cualquier de los \( \displaystyle\binom{2n}{n} \) juegos de \( n \) bolas blancas posibles.

Saludos.