[pepe250]

Hola chicos, necesito ayuda para resolver este ejercicio.

Descubrimientos recientes han revelado que Arquímedes (s. III
a.C.) y, especialmente, Hiparc (s. II a.C.) podrían haber tenido conocimientos de combinatoria más profundos del que se creía. En el caso de Hiparc, se sabe que conocía, como mínimo, el décimo número de Schröder: 103049. La obtención de este número se puede hacer por varias vías. Probablemente, la manera en que Hiparc lo encontró tenía que ver con la lógica estoica, y es, a grandes rasgos, equivalente al siquiente problema: dada una cadena de diez x, calcular todas las maneras de ponerlas entre paréntesis. Dos posibilidades serían (xx)xxx(xx)xxx y xx(xx(xx(xx)x)x), por ejemplo. El cálculo de todas las posibilidades no es una tarea sencilla:


Calculad el número de posibles secuencias con dos únicos paréntesis (uno para
abrir y el otro para cerrar; por ejemplo, xx(x)xxxxxxx podría ser una secuencia
válida) usados de la forma habitual (siempre cierran alguna letra y siempre se
pone primero el paréntesis de apertura).

Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Nota que para poner dos parénteis sólo tienes que elegir dos posiciones entre las once posibles (los once "huecos" entre cada par de \( x \) incluídos el anterior a la primera equis y el posterior a la segunda).

 Por tanto su problema se reduce a calcular de cuántas formas podemos elegir dos elementos entre once posibles.

 Termina...

Saludos.

[pepe250]

Sería así?

Combinaciones sin repetición:
n=11 el conjunto de espacios posibles
r=2 los paréntesis

\( C(n,r)=\displaystyle\binom{11}{2}=55 \) formas de poner dos paréntesis uno que abre y otro que cierra.


Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Correcto.

Saludos.

[pepe250]

Hola

¿Y si fuera ahora con dos parejas de paréntesis? ( por ejemplo, x(xx(xx)x)xxxx sería una secuencia de este tipo).

Sería ahora una muestra  no ordenada pero con repetición.

n=11
r=4
\( CR(n,r)=\displaystyle\binom{11}{4}=1001 \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Hay que tener un poco de cuidado. Si consideramos dos pares de paréntesis hay dos opciones:

 - Que estén anidados. Es decir de la forma que tu considerabas:

\(  xx(xx(xx)x)xx \)

 ó

\(  xx((xx)x)xxx \)

 ó

 \(  xx(x(xx))xxx \)

 En el pimer caso serían: \( C_{11,4}=\displaystyle\binom{11}{4} \); en los dos últimos \( C_{11,3}=\displaystyle\binom{11}{3} \)

 - Que aparezca primero un par y luego otro:

Así \(  xx(x)xx(x) \)

ó

\( xx(xx)(xx)xx \)

 En el pimer caso serían: \( C_{11,4}=\displaystyle\binom{11}{4} \); en el último \( C_{11,3}=\displaystyle\binom{11}{3} \).

 En definitiva y en total tendríamos:

\(  2\displaystyle\binom{11}{4}+3\displaystyle\binom{11}{3} \)

Saludos.

P.D. ¿Por qué pusiste combinaciones con repetición de once elementos tomados de cuatro en cuatro?.

[pepe250]

Hola el_manco

 En primer lugar gracias por tu ayuda. Entiendo esta deducción que haces

En el pimer caso serían: \( C_{11,4}=\displaystyle\binom{11}{4} ; \) en los dos último:\( C_{11,3}=\displaystyle\binom{11}{3} \)

Pero lo que no entiendo es de donde sacas el  2 y el 3 de :

\(  2\displaystyle\binom{11}{4}+3\displaystyle\binom{11}{3} \)

Me equivoque no quería poner combinaciones con repeticiones sino solo combinaciones como en el anterior ejercicio que puse.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Las combinaciones \( C_{11,4}=\displaystyle\binom{11}{4} \) se refieren a los formas de escoger cuatro de los once huecos que separan cada par de \( x \). Ahora una vez escogidos de lo discutido en mi anterior post vemos que ha dos formas de colocar los paréntesis. Si los cuatro huecos elegidos son estos:

 xx-x-xx-x-xxxx

 Podemos colocar:

 xx(x(xx)x)xxxx ó xx(x)xx(x)xxx

 Por eso multiplicamos por dos.
 
 Análogamente cuando escogemos tres huecos hay tres formas de colocar los paréntesis. Para:

 xx-x-xx-xxxxx

 tendríamos:

 xx((x)xx)xxxxx ó xx(x)(xx)xxxxx ó xx(x(xx))xxxxx

Saludos.

[pepe250]

Hola,

muchas gracias, siento no haber contestado antes pero me ha costado mucho entenderlo, aún así ya lo tengo claro.

En este caso, sería igual que el primero:

Considerad ahora, que en lugar de diez x, tenemos tres a, dos b y cinco c. Cuantas
secuencias diferentes hay con estas diez letras y dos paréntesis (las secuencias
aaabcc(cc)cb y b(cacab)ccac son dos ejemplos), uno de apertura y el otro de cierre
(siguiendo las formas  habituales)?

Sería así?

Combinaciones sin repetición:
n=11 el conjunto de espacios posibles
r=2 los paréntesis

\( C(n,r)=\displaystyle\binom{11}{2}=55 \) formas de poner dos paréntesis uno que abre y otro que cierra.

Por que yo lo veo cono en el primero caso, cambiado letras por x's.

Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 La diferencia es que ahora no es lo mismo:

 (aabbbccccc)

 que

 (ababbccccc)

 Fíjate que entre una expresión y otra lo que han cambiado no son los paréntesis, sino las letras.

Saludos.

P.D. Por favor utiliza LaTeX para tus fórmulas. En lugar de:

C(n,r)=(11,2)=55

pon

[tex]C(n,r)=\displaystyle\binom{11}{2}=55[/tex]

para obtener:

\( C(n,r)=\displaystyle\binom{11}{2}=55 \)

IMPORTANTE: CORRIGE TUS MENSAJES