Un proyectil de masa \( m \) se lanza tangencialmente a la superficie de la tierra con rapidez \( av_0 \), donde \( v_0 \) es la rapidez necesaria para que el proyectil orbite en forma circular y rasante a la tierra, y \( 1<\alpha<\sqrt[ ]{ 2}. \)
Calcule el perigeo, el apogeo y la excentricidad de la órbita. Suponga que no hay resistencia del aire.
Como resuelto ¿Cómo resuelvo este problema?, que ni siquiera logro entender bien el enunciado, cuando se dice lanzarlo tangencialmente, no sé si se lanza desde lejos de la tierra, o desde adentro de la tierra misma etc.
Con saber el perigeo me bastaría para entender el ejercicio, agradezco de antemano cualquier ayuda.
saludos.
Se lanza tangencialmente la superficie de la tierra , esto es que la velocidad es perpendicular a un eje que pasa por el punto de lanzamiento y el centro de la tierra.
la velocidad de una orbita circular en esas circunstancias es \( v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} \) equivale a \( \alpha= 1 \)
cuando \( \alpha=\sqrt2 \) entonces \( v=\sqrt2\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}= \)velocidad de escape
a esa velocidad la trayectoria es una parábola, si se la supera una hipérbola, pero el rango donde vamos a trabajar son trayectorias elípticas, como siempre vamos mas rápido que la velocidad de una orbita circular la elipse nunca tocara la tierra,salvo en el punto de lanzamiento. Por lo tanto el radio de la tierra será siempre nuestro periastro, y la distancia al foco de la elipse de la trayectoria tambien es el radio de la tierra.
dado que la velocidad de una órbita elíptica aplicando energías resulta
\( v=\sqrt{2GM\left (\dfrac 1r-\dfrac {1}{2a}\right )} \)
podemos calcular el semieje mayor de esa órbita con
\( a=\dfrac{1}{\dfrac{2}{r_{Tierra}}-\dfrac{v_{lanz}^2}{GM_{Tierra}}} \)
sabiendo que la distancia al foco de la elipse es \( c=a-r_T \)
la excentricidad resulta \( \epsilon=\dfrac{c}{a} \)
y el apogeo sale de la ecuación de la elipse sabiendo que la suma de las distancias de cada foco a cualquier punto de la elipse es 2 veces el semieje mayor
\( r_a=2a-r_p=2a-r_{Tierra} \) en nuestro caso.
entonces la excentricidad será 0 para la órbita circular
entre 0 y 1 para la orbita elíptica,
1 para la órbita parabólica y
mayor a 1 para la hiperbólica.
Saludos.
