[raziel_mlt]

Hola, espero puedan orientarme con este problema :

\( n \) bolas se encuentren colocadas en \( n \) cajas, una en cada caja. Un experimento consiste en sacar las bolas de la caja y en colocarlas después, al azar, nuevamente una en cada caja. Calcula la probabilidad de que al realizar el experimento, exactamente\(  k \) bolas queden en las cajas en las que estaban originalmente.

Desde ya mil gracias.

[charlyidea]

quiero enviar una respuesta y no me aceptan el envio ¿ porque?

[charlyidea]

Hola Raxiel.El problema que planteas es un experimento de distribucion binomial,ya que la variable aleatoria puede adquirir solo dos valores posibles: VOLVER A LA CAJA ORIGINAL o NO VOLVER A LA CAJA ORIGINAL, luego ordenamos los datos del problema asi:
p(VOLVER A LA CAJA ORIGINAL)=1/n=P
P(NO VOLVER A LA CAJA ORIGINAL)=1-(1/n)=n-1/n=Q
tamaño de muestra=n
numero de exitos solicitado=k
aplicando la formula de probailidad de la distribucion binomial
p(x=k)= nCk P^k Q^(n-k)= n!/(( n-k)! k!)   (1/n)^k  (n-1/n)^(n-k)
efectuando las cuentas y simplificando queda
p(x=k)= n! (n-1)^k/((n-k)! k! n^n)
un interesante`problema.saludos charly.

[raziel_mlt]

Charly muchas gracias por la enorme ayuda, ya me ha quedado mas claro como usar la probabilidad binomial, saludos¡¡¡¡

[raziel_mlt]

Hola, solo posteo el resultado que yo obtuve por si le sirve a alguien:

\( \left |{\Omega}\right |= N! \)

y defini los siguientes eventos:

\( A= \) { exactamente \( k \) bolas quedan en las cajas originales}
\( B=  \){al menos \( k \) bolas quedan en su caja original }
\( C= \) {\( N-k \) bolas no quedan en la caja original }

entonces la probabilidad de \( A \) seria la intersección de \( B \) con \( C \)

\( P(A)= P(B\cap{C})= P(C|B)P(B) \)

y

\( P(B)= \binom{N}{k} {(N-k)! \over N!} = {1 \over k!} \)

entonces para

\( P(C|B)= 1- {1\over 1!} + {1\over 2!} -...+ {(-1)^{N-k}\over (N-k)!} \)

asi quedaría que la probabilidad de \( A \) es :

\( P(A)= {1 \over k!} \left (1- {1\over 1!} + {1\over 2!} -...+ {(-1)^{N-k}\over (N-k)!}\right )  \)

Saludos¡.